Scheiden van de veranderlijken

Terug

Differentiaalvergelijking oplossen door middel van het scheiden van de veranderlijken komt grosso modo neer op het uitvoeren van twee stappen:

1. Oplossen van integralen
2. Oplossen van een vergelijking in één veranderlijken

Voorbeelden

Oorspronkelijke vraag

Geef de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking $\frac{dN}{N} = -\lambda dt$.

Opdeling in atomaire vragen

1. Manipuleer de vergelijking zodanig dat er geen afgeleiden meer voorkomen.

Antwoord

Beide leden integreren geeft het gewenste resultaat: $\begin{align*} \int \frac{dN}{N} &= \int -\lambda dt \\ \Rightarrow \ln N = -\lambda\cdot t + C \end{align*}$

Opmerking Als alternatief kan bijvoorbeeld gevraagd worden om de integraal van $\frac{dN}{N}$ en $-\lambda dt$ te bepalen.

1. Als $\ln N = -\lambda t + C$, dan wordt de oplossing van de differentiaalverglijking gegeven door

• $N(t) = Ae^{-\lambda\cdot t}$
• $N(t) = e^{-\lambda \cdot t} + e^C$
• $N(t) = log(-\lambda t + C)$

Opmerking Eventueel zou hier ook kunnen gekozen worden voor een open antwoord. De moeilijkheid daarbij, voornamelijk wanneer de antwoorden door een computer verbeterd moeten worden, zit hem voornamelijk in de naam die de constante zal krijgen.