Asymptoten

Basiscompetenties

Terug

Voorbeeld: De asymptoten bepalen (verticale, horizontale, schuine) van een gegeven functies

De oorspronkelijke vraag is om de verticale en horizontale of schuine asymptoot van een gegeven functie te bepalen. We splisten deze vraag op in verschillende deelvragen.

Vraag 1 Geef aan voor welke $x$-waarden de functie $f(x)=\frac{x^3+2}{x^2-9}$ niet gedefinieerd is.

$$ x \in \underline{\hspace{4em}} $$

Antwoord Men kan eenvoudig nagaan dat de noemer van de functie nul wordt wanneer $x=3$ of $x=-3$.

Vraag 2 Geef aan welke van de volgende functies enkel een verticale asymptoot (VA) heeft en welke ook (of alleen) een perforatie (P).

$$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline f_1(x) = \frac{x^2+6x+5}{x^2-25} & f_2(x) = \frac{x^3+3x^2+2x}{x^2-2x} & f_3(x) = \frac{x^2-3x+2}{2x-2} & f_4(x) = \frac{x^2+3x-10}{x^2-4x+4} \\ \hline \underline{\hspace{2em}} & \underline{\hspace{2em}} & \underline{\hspace{2em}} & \underline{\hspace{2em}} \\ \hline \end{array} $$

Antwoord

De grafiek van een functie zal enkel een perforatie hebben als een nulpunt van de teller ook een nulpunt van de noemer is. Deze vraag komt dus eigenlijk neer op het zoeken van wortels/nulpunten van teller en noemer.

$$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline & f_1(x) = \frac{x^2+6x+5}{x^2-25} & f_2(x) = \frac{x^3+3x^2+2x}{x^2-2x} & f_3(x) = \frac{x^2-3x+2}{2x-2} & f_4(x) = \frac{x^2+3x-10}{x^2-4x+4} \\ \hline \text{Nulpunten teller} & \{-5, -1\} & \{-2,-1,0\} & \{1,2\} & \{-5,2\} \\ \hline \text{Nulpunten noemer} & \{-5,5\} & \{0,2\} & \{1\} & \{2\} \\ \hline & \text{P} & \text{VA} & \text{P} & \text{P} \\ \hline \end{array} $$

Vraag 3 Een rationale functie $g(x)$ heeft als nulpunt in de teller $x=3$ en in de noemer $x=-2$, $x=0$ en $x=3$. Geeft de vergelijking van alle verticale asymptoten van de grafiek van $g$.

$$ \text{Verticale asympoten: } \underline{\hspace{2em}} $$

Antwoord

$$ \text{Verticale asympoten: }x=0, x = -2 $$

Merk op dat $x=3$ hier geen verticale asymptoot is: $x=3$ is namelijk ook een nulpunt van de teller. Op $x=3$ vinden we enkel een perforatie.

Vraag 4 Bepaal de volgende limiet:

$$ \lim_{x \to -\infty}\frac{x^5+6x^2-3}{x^2+2x+1} = \underline{\hspace{3em}} $$

Antwoord

$$ \lim_{x \to -\infty}\frac{x^5+6x^2-3}{x^2+2x+1} = \lim_{x \to -\infty}\frac{x^5}{x^2} = \lim_{x \to -\infty}x^3 = -\infty $$

Vraag 5 Van een bepaalde functie $k$ weten we reeds dat deze een verticale asymp heeft, maar geen horizontale asymptoot. We gaan na of de grafiek van $k$ een schuine asymptoot van de vorm $ax+b$ heeft. Welke limieten moeten we daarvoor berekenen?

$$ \text{Te berekenen limieten: }\underline{\hspace{8em}} $$

Antwoord Om een eventuele schuine asymptoot te bepalen, moeten twee limieten berekend worden. In eerste instantie bepalen we de coëfficiënt bij $x$:

$$ \lim_{x \to \pm \infty}\frac{k(x)}{x} = a $$

Eens gevonden is dat deze limiet convergeert naar een constante $a$, kan ook de twee limiet berekend worden om de constante $b$ te vinden.

$$ \lim_{x \to \pm \infty} (f(x)-ax) = b $$

Door deze twee limieten te bepalen, vinden we de vergelijking $ax+b$ voor de schuine asymptoot.

Vraag 6 Geef het tekenschema dat hoort bij $f(x) = \sqrt{x^2-4x+3}$.

$$ \begin{array}{c|ccccc} x & & \underline{\hspace{2em}} & & \underline{\hspace{2em}} & \\ \hline f(x) & \underline{\hspace{2em}} & \underline{\hspace{2em}} & \underline{\hspace{2em}} & \underline{\hspace{2em}} & \underline{\hspace{2em}} \end{array} $$

Antwoord

Daar waar $x^2-4x+3$ kleiner dan nul wordt is de functie niet gedefinieerd.

$$ \begin{array}{c|ccccc} x & & 1 & & 3 & \\ \hline f(x) & + & 0 & /// & 0 & + \end{array} $$