Examen farmaceutische wetenschappen - 30 augustus 2011

Vraag 1b Gegeven is de functie $P(T): P = a+b\ln\frac{c}{T}$, met $a$, $b$ en $c$ constante parameters. Bereken de inverse functie i.e.\ $T(P)$.

Deel 1 Als $P = a+b\ln\frac{c}{T}$, waaraan is dan $\ln\frac{c}{T}$ gelijk?

Deel 2 Als $x=\ln\frac{c}{T}$, dan is $T =$…

Vraag 1c Gegeven de functie $y = \sin x$. Bereken voor welke waarden van $x$ de helling van de curve maximaal is. Hoe groot is de hoek van de curve met de $x$-as op die punten?

Deel 1 We vinden voor welke $x$-waarden de helling van een curve $f(x)$ maximaal is door te berekenen wanneer … = 0.

Deel 2 Voor welke waarden van $x$ zal de afgeleide van $\sin x$ een maximum bereiken?

Voor $x= ………$

Deel 3 Geef de vergelijking van de raaklijn $t$ in het punt $(\frac{3\pi}{2}, 0)$ aan $f(x) = \cos(x)$.

$$ t \leftrightarrow f(x) = ... $$

Deel 4 Gegeven is de rechte met als vergelijking $f(x) = x$. De hoek $\alpha$ is de hoek die de rechte maakt met de $x$-as. Vul aan: $\tan \alpha = ...$

Deel 5 Bepaal $\alpha$ als je weet dat $\tan alpha = \sqrt{3}$. (Schrijf je antwoord zowel in graden als in radialen.)

$$ \alpha = ... rad \qquad \text{of} \qquad \alpha = ... graden $$

Opmerking Zowel vraag 1a als vraag 1d zijn niet atomair te stellen. In vraag $a$ moet een schets gemaakt worden. Vraag $d$ kan evengoed als een theorievraag gezien worden: men moet zich ervan bewust zijn dat de determinant van een matrix gelijk is aan product van de elementen op de diagonaal wanneer de matrix een bovendriehoeksmatrix is. Wanneer men dit weet, is gemakkelijk bepaal dat de constanten allemaal nul moeten zijn.

Vraag 2

Deel 1 Gegeven zijn de vectoren $(5,-3,4)$ en $(0,0,1)$. Bereken het product van deze vectoren.

$$ (5,-3,4)\cdot(0,0,1) = ... $$

Deel 2 Bereken de lengte van de vector $(5,-3,4)$.

$$ left|\vec{a}right| = ... $$

Deel 3 Als $\cos \theta = \frac{8}{\sqrt{50}}$, waaraan is dan $\theta$ gelijk? Je antwoord mag cyclometrische functies bevatten. Vereenvoudig breuken zo ver mogelijk en maak noemers wortelvrij.

Deel 4 Bereken het vectorproduct van de vector $(-5,3,-4)$ en de $z$-as.

$$ \vec{a}\times \vec{e}_z = \begin{vmatrix}\vec{e}_x & \vec{e}_y & \vec{e}_z \\ ... & ... & ... \\ ... & ... & ... \end{vmatrix} = .......... $$

Vraag 3 Fuctiebespreking van de Lorenzfunctie $f(x) = \frac{1}{\pi}\frac{a}{1+a^2(x-b)^2}$, met $a, b > 0$.

Deel 1 Voor welke waarde(n) van $x$ zal de noemer nul worden?

Deel 2 Bepaal de nulpunten van de functie $f(x) = \frac{1}{\pi}\frac{a}{1+a^2(x-b)^2}$.

Deel 3 Bereken de volgende limiet voor de functie met als voorschrift $f(x) = \frac{1}{1+a^3(x-b)^2}$: $\lim_{x\to+\infty} f(x) = ...$.

Deel 4 Welke limiet zal je moeten berekenen om de horizontale asymptoot van de functie met als voorschrift $g(x) = \frac{a}{1+a^2(x-b)^2}$ te bepalen.

Deel 5 Bereken de eerste afgeleide van $f(x)=\frac{a}{1+a^2(x-b)^2}$.

$$ f'(x) = \frac{...}{...} $$

Deel 6 Stel dat de afgeleide van een functie $g$ gegeven wordt door $2b^5(x-c)^2$. Welke vergelijking los je dan op om de extrema van $g$ te vinden?

Deel 7 Vul het tekenschema van de functie $f(x)=2a^3(x-b)$ verder aan:

$$ \begin{array}{c|ccc} x & & ... & \\ \hline f(x) & ... 0 ... \end{array} $$

Deel 8 Gegeven is de integraal $\int\frac{a}{1+a^2(x-b)^2} \d x$. Om de integraal uit te werken, passen we de substitutie $u = a(x-b)$ toe. Vel dan verder aan hoe het integrandum er na substitutie zal uitzien.

$$ \int\frac{a}{1+a^2(x-b)^2} \d x \stackrel{\text{substitutie}}{=} \int ... \d u $$

Deel 9 Vul aan:

$$ \int \frac{\d t}{\pi(1+t^2)} = ... $$

Deel 10 Evalueer onderstaande uitdrukking tussen de grenzen $-\infty$ en $+\infty$:

$$ \frac{1}{\pi}Bg\tan u = ... $$

Vraag 6 Gegeven is de matrix $A = \begin{pmatrix} 1&3&2\\0&1&0\\-1 &2&3 \end{pmatrix}$

Deel 1 Bereken de determinant van $A$ door de matrix te ontwikkelen naar de twee rij. Vul aan:

$$ det(A) = (-1)^{\dots}\cdot \dots \cdot \begin{vmatrix} 3&\dots\\\dots&3\end{vmatrix} + (-1)^{\dots}\cdot1\cdot\begin{vmatrix}1&\dots\\\dots&3\end{vmatrix}+(-1)^{\dots}\cdot\dots\cdot\begin{vmatrix}\dots&3\\-1&\dots \end{vmatrix} $$

Deel 2 Bereken de adjudant van de matrix $B=\begin{pmatrix}-2&0&1\\4&1&-2\\0&1&3\end{pmatrix}$

$$ adj(B) = \begin{pmatrix}\dots&-12&\dots\\\dots&-6&\dots\\\dots&0&\dots \end{pmatrix}^{T} $$

Deel 3 Geeft de getransponeerde van de matrix

$$ C = \begin{pmatrix}1&5&8\\-5&-1&3\\-2&7&-1\end{pmatrix} $$

Deel 4 Bereken het volgende matrixproduct:

$$ \begin{pmatrix}-1&1\\12&6\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}3&-5\\6&5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dots&\dots\\ \dots&\dots\end{pmatrix} $$

Vraag 7

Deel 1 Manipuleer de vergelijking $\frac{\d N}{N^2} = -\lambda\cdot t \d t$ zodanig dat er geen afgeleiden meer voorkomen.

Deel 2 Als $\ln N = -\lambda t + C$, dan wordt de oplossing van de differentiaalverglijking gegeven door

$N(t) = Ae^{-\lambda\cdot t}$
$N(t) = e^{-\lambda \cdot t} + e^C$
$N(t) = log(-\lambda t + C)$

Deel 3 Als $\frac{N_0}{4} = N_0e^{-\lambda^2 \tau}$, waaraan is dan $\lambda$ gelijk?