Complexe getallen

Vragen over complexe getallen werden hier nog niet toegevoegd. In verschillende andere vragen en onderdelen komen wel basiscompetenties aan bod die met complexe getallen te maken hebben, zoals bij ontbinden in factoren of vragen van het toelatingsexamen geneeskunde.

Enkele competenties die hierbij getest worden zijn:

Eenvoudige voorbeeldvragen

Voorbeeld 1 Bepaal het quotiënt van de volgende twee complexe getallen.

$$ \frac{2+3i}{5+4i} = \underline{\hspace{3em}} + \underline{\hspace{3em}}i $$

Antwoord

Om het quotiënt te bepalen, is het nodig om teller en noemer te vermenigvuldigen met de complex toegevoegde van de noemer, in dit geval dus met $5-4i$.

$$ \frac{2+3i}{5+4i}\cdot\frac{5-4i}{5-4i} = \frac{10-8i+15i+12}{25-20i+20i+16} = \frac{22+7i}{41} $$

Voorbeeld 2 Gegeven zijn de volgende complexe getallen:

Vraag 1 Bepaal $\overline{z_1 \cdot z_2}$.

$$ \overline{z_1 \cdot z_2} = \underline{\hspace{3em}} + \underline{\hspace{3em}}i $$

Antwoord

Bepaal eerst het product van beide complexe getallen:

$$ (5+i)(1-6i) = 5-30i+i+6 = 11-29i $$

Vervolgens nemen we de complex toegevoegde van $11-29i$, dit is $11+29i$.

Vraag 2 Bepaal $\overline{z_3 - \overline{z_1}}$.

Eerst bepalen we $\overline{z_1}$:

$$ \overline{z_1} = 5-i $$

Nadien bepalen we $z_3 - \overline{z_1}$, dit is $4i-1$.

Tot slot bepalen we de complex toegevoegde van $-1+4i$, dit is $-1-4i$.

Voorbeeld 3 Gegeven is de functie $f(z)=\frac{z^2-z}{z+1}$. Bepaal dan $f(i)$.

$$ f(i) = \underline{\hspace{3em}} $$

Antwoord

$$ f(i) = \frac{-1-i}{i+1} = -1 $$

Oplossen van vierkantsvergelijkingen in $\mathbb{C}$

Het oplossen van vierkantsvergelijkingen in de complexe getallen verloopt net zoals bij de reële getallen. Het grote verschil is dat we in het geval van de complexe getallen steeds een oplossing zullen vinden voor de vergelijking. Hieronder een voorbeeld van zo’n vraag, waarbij de vraag ook wordt opgesplitst in meerdere kleine deelvragen.

Los op in $\mathbb{C}$: $z^2+2z+5=0$

Deel 1 Bereken de discriminant die bij de vierkantsvergelijking $z^2+2z+5=0$ hoort.

$$ D = ... $$

Antwoord $D = b^2-4ac = 4-20 = -16$

Deel 2 Gegeven is dat $-16$ de discriminant is van de vierkantsvergelijking $z^2+2z+5=0$. Bepaal de oplossing $z_1$ van deze vierkantsvergelijking die in het derde kwadrant van het vlak ligt.

$$ z_1 = ... $$

Antwoord De kleinste oplossing wordt algemeen gegeven door $\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}$. In dit geval betekent dit dat de oplossing gelegen in het derde kwadrant gegeven wordt door $z_1 = \frac{-2-4i}{2} = -1-2i$

Merk op dat eveneens zou kunnen gevraagd worden naar beide oplossingen, of naar de oplossing die in het tweede kwadrant gelegen is.

Modulus en argument van een complex getal.

Vraag 1 Gegeven is het complex getal $z = 1-i$. Bepaal de modulus van dit complex getal. $\text{mod}(z) = ...$

Antwoord De afstand van de oorsprong tot het beeldpunt van het complex getal is de modulus $r$ van dit complex getal. We vinden dus $r = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$

Vraag 2 Gegeven is het complex getal $z = 1-i$. Bepaal $\tan\alpha$ van dit complex getal. **\tan\alpha = … **

Antwoord $\tan\alpha$ wordt gegeven door $\frac{b}{a}$, dus hier is $\tan\alpha = \frac{-1}{1}$.

Vraag 3 Gegeven is het complex getal $3+3\sqrt{3}i$. In welk kwadrant is het argument van het complex getal dan gelegen?

Andere formulering Gegeven is het complex getal $3+3\sqrt{3}i$. Het argument van het complex getal is gelegen in kwadrant … want $a$ … en $b$ … (vul het gepaste kwadrant en ongelijkheden in)?

Antwoord Het argument van het complex getal is gelegen in kwadrant I want $a>0$ en $b>0$.

Vraag 4 Bepaal $\alpha$ als je weet dat $\tan\alpha = \frac{-1}{\sqrt{3}}$. $\alpha = ...$

Antwoord $\alpha = 150°$

Goniometrische vorm van een complex getal

Vraag 1 Stel dat een complex getal algemeen van de vorm $z=a+bi$ is, met modulus $r$ en argument $\alpha$. Bepaal dan de algemene goniometrische vorm van dit complex getal.

$$ \text{Algemene vorm:} ... $$

Antwoord De algemene vorm wordt gegeven door $r(\cos\alpha + i\sin\alpha)$

Vraag 2 Gegeven is het complex getal $z=-3-4i$. Bepaal de goniometrische vorm van dit complex getal. Gebruik van een rekentoestel bij het berekenen van het argument is toegestaan.

Merk op dat bij de deze vraag ook nog expliciet kan gevraagd worden naar modulus en argument van het complex getal.

$\text{mod}(z) = ...$ $\text{arg}(z) = ...$ $\text{goniometrische vorm} = ...$

Antwoord $\text{mod}(z) = \sqrt{}(-3)^2+(-4)^2 = 5$ $\text{arg}(z) = -126°52'12"$ $\text{goniometrische vorm} = 5(\cos(-126°52'12")+i\sin(-126°52'12"))$

Machtsverheffing van een complex getal

Vraag 1 Bepaal de zesde macht van het complex getal $z = \sqrt{2}(\cos(-45°)+i\sin(-45°))$.

$$ z^6 = ... $$

Antwoord De zesde macht wordt bepaald door $\sqrt{2}^6(\cos(-45°*6)+i\sin(-45°*6)) = 8(\cos(-270°) + i\sin(-270°)) = 8i$

Merk op dat deze vraag ook gesteld zou kunnen worden met een complex getal van de vorm $z=a+bi$. Hierbij moet dan nog expliciet de modulus en het argument bepaald worden. De vraag zou dus in verschillende delen kunnen opgesplitst worden zoals hierboven reeds getoond (sectie: goniometrische vorm van een complex getal).

$n$-de machtswortel uit een complex getal

Vraag 1 Drie van de zes zesdemachtwortels van -1 worden gegeven door $i$, $\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i$ en $-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i$. Wat zullen de overige drie zesdemachtswortels zijn van -1? (Hint: duidt de gegeven wortels aan op een cirkel en vind zo (visueel) de andere wortels.)

Antwoord De beeldpunten van de wortels zijn de hoekpunten van een regelmatige zeshoek met middelpunt de oorsprong. De overige drie wortels worden dus gegeven door