Continuïteit

Basiscompetenties

Voorbeeld

Vraag Bepaal het continuïteitsgebied van de functie $f(x) = \frac{3-\sqrt{x}}{x-9}$.

  1. Gegeven is de functie $f(x) = \frac{3-\sqrt{x}}{x-9}$. Voor welke waarde(n) van $x$ is de functie niet gedifinieerd?

Oplossing De functie $f$ is niet gedifineerd voor $x= 9$ en voor $x$’en kleiner dan 0.

  1. Gegeven is de functie $f(x) = \frac{3-\sqrt{x}}{x-9}$. Vul het tekenverloop van de functie verder aan:
$$ \begin{array}{c|cccc} x &-1 & 0 & \underline{\hspace{2em}} & 10 \\ \hline T & \underline{\hspace{2em}} & \underline{\hspace{2em}} & 0 & \underline{\hspace{2em}} \\ N & \underline{\hspace{2em}}& \underline{\hspace{2em}}& \underline{\hspace{2em}}& \underline{\hspace{2em}}\\ \hline f(x) & \underline{\hspace{2em}} & \underline{\hspace{2em}}& \underline{\hspace{2em}} & \underline{\hspace{2em}} \\ \end{array} $$

Oplossing

Zie tekenverloop in de vraag hieronder.

  1. Hieronder is het tekenverloop van de functie $f$ gegeven. Geef het continuïteitsgebied van deze functie.
$$ \begin{array}{c|cccc} x & -1 & 0 & 9 & 10 \\ \hline T & /// & + & 0 & - \\ N & /// & - & | &+ \\ \hline f(x) & /// & - & \text{perforatie} & + \\ \end{array} $$

Oplossing

Het continuïteitsgebied van deze functie is $[0,9[\cup]9, +\infty[$.

  1. Gegeven is de functie $f(x) = \frac{3-\sqrt{x}}{x-9}$. Voor $x = 9$ zal de functie een (duid het correcte antwoord aan)

hebben.

Bespreking

In dit voorbeeld is 9 zowel een nulwaarde van de teller als van de noemer. Dit betekent dat de functie geen verticale asymptoot zal hebben, maar een perforatie (vraag extra aandacht om dit op te merken). In dit geval is de functie $g(x) = -\frac{1}{\sqrt{x}+3}$ wel continu in $x=9$ en samenvallend met $f$ voor alle $x \in$ dom$f {9}$.

De opgave kan eenvoudiger gemaakt worden door een functie te kiezen die een echte verticale asymptoot heeft. De oefening wordt eveneens eenvoudiger wanneer met veeltermfuncties wordt gewerkt (die zijn namelijk overal gedefinieerd).