Eigenvectoren van een matrix bepalen

Terug

  1. Stel dat $\lambda = 1$ een eigenwaarde is van de matrix $A$.

Welk stelsel moet opgelost worden om de eigenvectoren van $A$ te vinden horende bij deze eigenwaarde?

$$ (\underline{\hspace{3em}})X = 0 $$

Merk op dat $A-\lambda I$ een correct antwoord is, maar door het gegeven kan ook $\lambda$ vervangen worden door 1 waardoor $(A-I)$ overblijft.

Alternatief (Om de expliciete/uitgebreide vorm te vragen)

Stel dat $\lambda = 1$ een eigenwaarde is van de matrix $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1\\ -1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \\ \end{pmatrix}$.

Welk stelsel moet opgelost worden om de eigenvectoren van A te vinden horende bij deze eigenwaarde?

$$ \begin{pmatrix}\dots & -1 & \dots \\ -1 & \dots & -1 \\ \dots & -1 & \dots \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dots \\ \dots \\ \dots \end{pmatrix} $$
  1. Gegeven is het stelsel $\begin{pmatrix}1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y\\ z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$. Gebruik de methode van Gauss-Jordan om deze matrix terug te brengen tot de echelonvorm.
$$ \begin{pmatrix}1 & -1 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 0 \\ \dots & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \dots & \dots & 0 \end{pmatrix} $$

Merk op dat door het aangeven waar cijfers moeten ingevuld worden, nadien ook bepaald is welke variabelen vrij gekozen kunnen worden. Mocht deze vorm niet opgelegd worden kan men evengoed $x$ en $y$ als vrij variabelen kiezen als $y$ en $z$. Dit maakt het mogelijk om de opgave ook door de computer te laten verbeteren.

  1. Gegeven is de echelonvorm van een matrix: $\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$. Geef de oplossing van dit stelsel. $\begin{pmatrix}x\\y\\z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dots \\ \dots \\ \dots \end{pmatrix}$. Hierbij zijn $\underline{\hspace{1em}}$ veranderlijken vrij te kiezen (vul een aantal in).

Opmerking Voor het oplossen van stelsels zijn er verschillende mogelijkheden.

Ook de moeilijkheidsgraad van stelsels kan sterk verschillen.

Voorbeeld met 1 vrijheidsgraad

$$ \begin{pmatrix} -2 & -1 & 1 & 0 \\ -1 & -2 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & -2 & 0 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$

We vinden dat $-x+z = 0$ en $y+z = 0$. Er is één veranderlijke vrij te kiezen. Dit kan zowel $x$, $y$ als $z$ zijn, maar in de opgave kan geëxpliciteerd worden dat $x$ en $y$ in termen van $z$ moeten uitgedrukt worden. Dan krijgen we:

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} z \\ -z \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 1 \end{pmatrix}z$. We vinden dus dat $\begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 1 \end{pmatrix}$ een eigenvector is van de matrix, maar eveneens zijn alle veelvouden ook eigenvectoren.

  1. Als de oplossing van een stelsel gegeven wordt door $\begin{pmatrix}x\\y\\z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}y-z\\y\\z \end{pmatrix}$, bepaal dan de eigenvectoren van deze matrix door aan te vullen:
$$ \begin{pmatrix}y-z\\y\\z \end{pmatrix} = y\begin{pmatrix}\dots\\\dots\\\dots \end{pmatrix} + z\begin{pmatrix}\dots\\\dots\\\dots \end{pmatrix} $$

Merk op dat hier meerdere mogelijkheden zijn. Zo konden evengoed $x$ en $z$ als vrije variabelen gekozen worden.

Ook wordt in deze vraag opnieuw context meegegeven. Dit is op zich niet nodig om de vraag te stellen.

Bespreking

Hoewel het vinden van eigenwaarden en eigenvectoren van een matrix hier werd opgesplits in atomaire vragen, is het belangrijk om op te merken dat niet-atomaire vragen nog steeds mogelijk blijven. In het geval er gewerkt wordt met een 2$\times$2 matrix is het perfect mogelijk om eigenwaarden en eigenvectoren rechtstreeks (i.e.\ zonder de hoofdvraag op te splitsten in deelvragen) te vragen.