Eigenwaarden van een matrix bepalen

Terug

Vraag Bepaal de eigenwaarden van matrix $A$.

Atomaire opdeling

Voorbeelden

  1. Gegeven is een matrix $A$. Hoe ziet de karakteristieke vergelijking van deze matrix eruit? (Je antwoord moet een algemene uitdrukking zijn waar een determinant in voorkomt.)

Antwoord

$$ det(A-\lambda I) = 0 $$
  1. Gegeven is dat $A = \begin{pmatrix}2 & -1 & 1 \ -1 & 2 & -1 \ 1 & -1 & 2 \ \end{pmatrix}$. Vul aan op de puntjes zodat de karakteristieke vergelijking van matrix $A$ staat weergegeven.
$$ \begin{vmatrix} \dots & -1 & \dots \\ -1 & \dots & -1 \\ \dots & -1 & \dots \end{vmatrix} $$

Antwoord

$$ \begin{vmatrix} *2- \lambda* & -1 & *1* \\ -1 & *2- \lambda*& -1 \\ *1* & -1 & *2- \lambda* \end{vmatrix} $$
  1. Gegeven is de karakteristieke vergelijking $\begin{vmatrix} 2- \lambda & -1 & 1 \\ -1 & 2- \lambda & -1 \\ 1 & -1 & 2- \lambda \end{vmatrix} = 0$. Ontwikkel de determinant naar de eerste rij door aan te vullen waar dit gevraagd wordt (op de puntjes).
$$ (-1)^{\dots}(2-\lambda)\begin{vmatrix}2-\lambda & \dots \\ -1 & \dots \end{vmatrix} + (-1)^{\dots}\dots \begin{vmatrix} \dots & -1 \\ \dots & 2-\lambda\end{vmatrix} + (-1)^{\dots}\begin{vmatrix}\dots & \dots \\ 1 & -1 \end{vmatrix} $$

Opmerking In deze vraag staat expliciet het woord ‘karakteristieke vergelijking’. De vraag op zich heeft deze context niet nodig: wanneer men wil testen of studenten een matrix kunnen ontwikkelen naar een welbepaalde rij of kolom, is deze info niet nodig.

  1. Hieronder is de ontwikkeling van een determinant naar de eerste kolom gegeven. Werk uit tot je een $n$-de graads veelterm bekomt en vul de gepaste coëfficiënten in.
$$ (2-\lambda)\begin{vmatrix}2-\lambda & -1 \\ -1 & 2-\lambda \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 2-\lambda\end{vmatrix} + \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 2-\lambda & -1\end{vmatrix} $$
$$ = \underline{\hspace{1em}}\lambda^3 + \underline{\hspace{1em}}\lambda^2 + \underline{\hspace{1em}}\lambda + \underline{\hspace{1em}} $$
  1. Gegeven is de derdegraadsvergelijking $-\lambda^3 + 6\lambda^2 - 9\lambda + 4$. Ontbind deze veelterm in factoren. Vul daartoe het schema van Horner verder aan.
$$ \begin{array}{c|cccc} & \dots & \dots& \dots & \dots \\ \dots & \downarrow & -1 & \dots &\dots \\ \hline &\dots & \dots & \dots & 0 \end{array} $$
  1. Veronderstel dat de karakteristieke vergelijking van een matrix A kan ontbonden worden als $(\lambda+2)(\lambda-3)(\lambda+1)$. Welke zijn dan de eigenwaarden van de matrix $A$?

Opmerking Een eenvoudigere versie van deze vraag kan zijn met als ontbinding $(\lambda-2)(\lambda-3)(\lambda-1)$.