Domein van een functie bepalen

Basiscompetenties

Ongelijkheden van de tweede graad oplossen
Toepassen van eigenschappen van exponentiële functies
Breuken op gelijke noemer zetten
Vierkantsvergelijkingen oplossen (en bij uitbreiding ook hogeregraadsvergelijkingen)
(Domein van ‘eenvoudige’ functies bepalen)
Domein van een aantal functies kennen zoals $\ln(x)$, $\exp(x)$

Enkele eenvoudige voorbeeldvragen

Voorbeeld 1 Bepaal het domein van $f(x)=\frac{x+1}{x^2-4}$.

$$ \text{dom }f = \underline{\hspace{3em}} $$

Antwoord Het enige dat we hier moeten nagaan om het domein te bepalen, is voor welke $x$-waarden de functie $f$ niet gedefinieerd is. Dit is enkel zo voor $x=2$ en $x=-2$ omdat in die gevallen de noemer nul wordt. Voor alle andere $x$-waarden is de functie wel gedefinieerd. Hieruit volgt:

$$ \text{dom } f =\mathbb{R}\setminus \{\pm 2\} $$

Voorbeeld 2 Bepaal het domein van $g(x) = 4x^4-3x^+6x-2$.

$$ \text{dom } g = \underline{\hspace{3em}} $$

Antwoord Het domein bepalen van veeltermfuncties zijn de meest eenvoudige gevallen: de functie is steeds voor alle $x$-waarden gedefinieerd en het domein is dus $mathbb{R}$.

Voorbeeld 3a Bepaal het domein van $h(x) = \sqrt{5x-8}$.

$$ \text{dom }h = \underline{\hspace{3em}} $$

Antwoord Bij dergelijke functie is de vraag opnieuw voor welke $x$-waarde de functie gedefinieerd is. We gaan dus na wanneer de uitdrukking onder de wortel groter dan of gelijk is aan nul.

$$ 5x-8 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq \frac{8}{5} $$

We vinden dus dat

$$ \text{dom }h = \left[\frac{8}{5}, +\infty\right[ $$

Voorbeeld 3b Bepaal het domein van $k(x) = \sqrt{2x^2-x-1}$.

$$ \text{dom }k = \underline{\hspace{3em}} $$

Antwoord We gaan op dezelfde manier te werk als bij het vorige voorbeeld. Het enige verschil hier is dat via een tekenschema zal moeten gegekeken worden naar het teken van de functie.

Als discriminant vinden we in dit voorbeeld $D = 9$ en als nulpunten $-\frac{1}{2}$ en $1$. Door het positieve teken van de coëfficiënt van $x^2$ weten we dat de grafiek van $k$ een dalparabool is en dus positieve functiewaarden aanneemt in de intervallen $\left]-\infty, -\frac{1}{2}\right]\cup\left[1,+\infty\right[$

Merk op dat een tekenschema (zoals eerder vermeld) hier ook de oplossing had kunnen bieden, maar wellicht iets meer tijd zou innemen dan gewoon kijken naar het teken van de coëfficiënt bij $x^2$.

Voorbeeld 4 Bepaal het domein van $m(x) = \ln(-x-1)$.

$$ \text{dom }m = \underline{\hspace{3em}} $$

Antwoord Omdat $\ln x$ alleen gedefinieerd is voor positieve $x$, is de vraag wanneer $-x-1>0$.

$-x-1>0 \Leftrightarrow -x>1 \Leftrightarrow x < -1.$ We vinden dus:

$$ \text{dom }m = \left]-\infty, -1\right[ $$

Voorbeeld

Bepaal het domein van de functie $f(x) = \frac{\sqrt{x^2-2x}}{\ln(2x-3)+\ln(x-2)-2\ln(x)}$.

Op welke manier ga je na voor welke $x$ waarden $\sqrt{x^2-2x}$ groter dan of gelijk aan nul is?

Bespreking eerste deel van de vraag

Een eerste stap in het oplossen van deze vraag is nagaan voor welke waarden van $x$ de teller gedefinieerd zal zijn. Hiervoor moet nagegaan worden wanneer $x^2-2x$ gelijk is aan of groter is dan nul. Het vraagt kennis van zaken om te zien dat dit enkel op te lossen is door gebruik te maken van een tekenschema. In het oplossen van de vraag is dit alvast een cruciale stap die moeilijker als atomaire vraag te bevragen lijkt; er is wat (intelligente) creativiteit nodig om alternatieven te bedenken in het geval van een meerkeuzevraag.

Een andere redenering is om de nulpunten van $f(x) = x^2-2x$ te bepalen, op te merken dat dit een dalparabool is en dus vast te stellen dat tussen beide nulpunten de functiewaarden kleiner zijn dan nul en de oorspronkelijke functie daar dus niet gedefinieerd zal zijn.

Opsplitsing in het eerste geval

Beschouw de teller van de functie $f$: $f(x)$ is gedefinieerd als

de uitdrukking onder de wortel groter is dan of gelijk is aan nul, namelijk wanneer $x^2-2x = x(x-2) \geq 0$ of dus wanneer $x \geq 0$ of $x-2 \geq 0$.
de uitdrukking onder de wortel groter is dan of gelijk is aan nul, namelijk wanneer $x \geq 0$.
als de uitdrukking onder de wortel groter is dan of gelijk is aan nul. Aan de hand van een tekenschema moet bepaald worden voor welke $x$-waarden aan deze voorwaarde is voldaan.
…

Oplossing

Aan de hand van een tekenschema moet bepaald worden voor welke $x$-waarden aan deze voorwaarde is voldaan.

Gegeven is de functie $f(x) = x^2-2x$. Vul het tekenschema hieronder verder aan:

$$ \begin{array}{cccccc} x & &\underline{\hspace{2em}} & &\underline{\hspace{2em}} & \\ \hline f(x) &\underline{\hspace{2em}} &0 &\underline{\hspace{2em}} & 0& \underline{\hspace{2em}} \\ \end{array} $$

Oplossing

$$ \begin{array}{cccccc} x & &0 & & 2 & \\ \hline f(x) & + &0 & - & 0 & + \\ \end{array} $$

Hieronder is het tekenschema van de teller van de functie $f(x) = \frac{\sqrt{x^2-2x}}{ln(2x-3)+ln(x-2)-2ln(x)}$ gegeven. Waar zal de functie $f(x)$ niet gedefinieerd zijn?

$$ \begin{array}{cccccc} x & &0 & & 2 & \\ \hline f(x) & + &0 & - & 0 & + \\ \end{array} $$

$f(x)$ is niet gedefinieerd in het interval \U5.

Oplossing

$f(x)$ is niet gedefinieerd in het interval $[0,2]$.

Opsplitsing in het tweede geval

De nulpunten van $f(x) = x^2-2x$ worden gegeven door

$x_1 = \underline{\hspace{2em}} \qquad \text{en} \qquad x_2 = \underline{\hspace{2em}}$.

Oplossing

$$x_1 = 0 \qquad \text{en} \qquad x_2 = 2.

De functie $f(x) = x^2-2x$ is een
- bergparabool want de coëfficiënt bij $x^2$ is positief
- dalparabool want de coëfficiënt bij $x^2$ is positief
- bergparabool want de coëfficiënt bij $x$ is negatief
- dalparabool want de coëfficiënt bij $x$ is negatief

Oplossing

Antwoord 2.

Stel dat 0 en 2 nulpunten zijn van een functie waarvan de grafiek een dalparabool is. Wat is dan het domein van de vierkantswortel van deze functie?

$$ \text{dom}f = \underline{\hspace{2em}} $$

meerkeuzevraag:

$\text{dom}f = ]-\infty, 0[\cup]2,+\infty[$
$\text{dom}f = [0,2]$
$\text{dom}f = ]-\infty, 0]\cup[2,+\infty[$
$\text{dom}f = ]0,2[$

Antwoord

$$ \text{dom}f = ]-\infty, 0]\cup[2,+\infty[ $$

Vervolg

Gegeven is de functie $f(x) = \frac{\sqrt{x^2-2x}}{\ln(2x-3)+\ln(x-2)-2\ln(x)}$. Deze functie is niet gedefinieerd als (vul aan):

$$ \ln(2x-3)+\ln(x-2)-2\ln(x) \underline{\hspace{3em}} $$

Oplossing

$$ \ln(2x-3)+\ln(x-2)-2\ln(x) = 0 $$

Opmerking

Een volgende vraag die moet opgelost worden is voor welke $x$-waarden $ln(2x-3)+ln(x-2)-2ln(x) = 0$. Een manier om dit op te lossen is door van beide leden van de vergelijking de exponentiële te bepalen. Dit zien is in feite een eerste moeilijkheid in deze oefening die moeilijk te bevragen lijkt – de vraag zou zodanig gesteld moeten worden dat het antwoord niet verklapt wordt (door bijvoorbeeld keuzemogelijkheden).

We willen de vergelijking $\ln(2x-3)+\ln(x-2)-2\ln(x) = 0 $ oplossen. Schrijf hieronder de eerstvolgende stap in de oplossingsstrategie op.

$$ \begin{align} &\phantom{BOE} \ln(2x-3)+\ln(x-2)-2\ln(x) = 0 \\ & \Leftrightarrow \underline{\hspace{16em}} \end{align} $$

Oplossing

$$ \begin{align} &\phantom{BOE} \ln(2x-3)+\ln(x-2)-2\ln(x) = 0 \\ & \Leftrightarrow e^{\ln(2x-3)+\ln(x-2)-2\ln(x)} = 1 \end{align} $$

Herschrijf de uitdrukking $e^{\ln(2x-3)+\ln(x-2)-2\ln(x)}$ zodanig dat er enkel nog factoren in voorkomen (en geen termen meer).

$$ e^{\ln(2x-3)+\ln(x-2)-2\ln(x)} = \U5 \cdot \U5 \cdot \U5 $$

Oplossing

$e^{\ln(2x-3)+\ln(x-2)-2\ln(x)} = e^{\ln(2x-3)}\cdot e^{\ln(x-2)} \cdot e^{-2\ln(x)}$.

Vereenvoudig de onderstaande uitdrukking (duid het juiste antwoord aan):

$e^{\ln(2x-3)}\cdot e^{\ln(x-2)} \cdot e^{2\ln(x)} = 1$ kan geschreven worden Als

$(2x-3)\cdot(x-2)\cdot(2^{-x})$
$(2x-3)\cdot(x-2)\cdot(-2x)$
$(2x-3)\cdot(x-2)\cdot(x^{-2})$
$(2x-3)\cdot(x-2)\cdot((-2)^x))$

Antwoord

Antwoord 3

Werk het volgende product uit:

$(2x-3)\cdot(x-2)\cdot(x^{-2}) = \underline{\hspace{2em}}x^{-2} + \underline{\hspace{2em}}x^{-1} + \underline{\hspace{2em}}$.

Oplossing

$(2x-3)\cdot(x-2)\cdot(x^{-2}) = 6x^{-2} +-7x^{-1} +1$.

Maak de onderstaade uitdrukking $(x\neq0)$ noemervrij:

$$ 1 - \frac{7}{x} + \frac{6}{x^2} = \underline{\hspace{2em}}x^2 + \underline{\hspace{2em}}x + \underline{\hspace{2em}} $$

Oplossing

$$ 1 - \frac{7}{x} + \frac{6}{x^2} = x^2 + (-7)x + 6 $$

Opmerking Hier zou kunnen gevraagd worden om alle breuken gelijknamig te maken, wat zou betekenen dat de volgende vergelijking wordt bekomen: $\frac{x^2-7x+6}{x^2} = 0.$ Deze uitdrukking is nul als de teller nul is (waarbij we $x=0$ moeten uitsluiten in het geval dit een oplossing zou zijn van de vierkantsvergelijking in de teller.)

Los de volgende vierkantsvergelijking op:

$x^2-7x+6 = 0$.

$$ x_1 = \underline{\hspace{2em}} \qquad \text{en} \qquad x_2 = \underline{\hspace{2em}} $$

Oplossing

$$ x_1 = 1\qquad \text{en} \qquad x_2 = 6 $$

Merk op dat het oplossen van een vierkantsvergelijking nog verder kan opgedeeld worden in afzonderlijke vragen. Zo kan bijvoorbeeld eerst gevraagd worden om de discriminant te berekenen en vervolgens de oplossing(en) van de vergelijking. Bij de meeste faculteiten zal het oplossen van vierkantsvergelijkingen echter als goed beheerste leerstof gezien worden waardoor verder opsplisten in deelvragen overbodig lijkt.

Van de functie $f(x) = \frac{\sqrt{x^2-2x}}{\ln(2x-3)+\ln(x-2)-2\ln(x)}$ is geweten dat het domein van de teller $]-\infty, 0]\cup[2,+\infty[$ is. Bovendien weten we dat $x=1$ en $x=6$ nulpunten van de noemer zijn. Bepaal het domein van de volledige functie $f$.

$$ \text{dom}f = \underline{\hspace{14em}} $$

Oplossing

$$ \text{dom}f = ]-\infty,0]\cup[2,6[\cup]6,+\infty[ $$