Eenvoudige differentiaalvergelijkingen

1. Bepaal de oplossing $N(t)$ van de differentiaalvergelijking $\frac{\d N}{N} = -\lambda \d t$.

Gebruik gelijkaardige, eenvoudige differentiaalvergelijkingen zoals $\frac{\d x}{\d t} = 5x-3$ of $\frac{\d x}{\d t} = \alpha x$.

Elke differentiaalvergelijking van de vorm

• $\frac{\d x}{\d t} = \alpha x + \beta$
• $\frac{\d x}{\d t} = \alpha x^n$

kan gebruikt worden, $\alpha$ en $\beta$ mogen gelijk welke waarde aannemen, $n \in \mathbb{N}$.

Ook differentiaalvergelijkingen van de vorm $\frac{\d x}{\d t} = \alpha x^n + \beta$ zijn mogelijk, maar hierbij wordt de integratie al een stuk ingewikkelder.

---

2. Bepaal de oplossing $y(x)$ van de differentiaalvergelijking $\frac{\d y}{\d x} = 7y^2x^3$.

Elke differentiaalvergelijking van de vorm $\frac{\d y}{\d x} = \alpha x^ny^m$ is mogelijk ($n,m \in \mathbb{N}$).

---

3. Bepaal de oplossing van de differentiaalvergelijking $-\frac{1}{y(\ln y -1)}\d y = \d t$.

Het linkerlid van deze differentiaalvergelijking heeft een iets andere vorm dan deze in (1.) en (2.). De integratie zal via substitutie moeten gebeuren en niet rechtstreeks. De differentiaalvergelijking is wel nog steeds op te lossen via scheiden van de veranderlijken.

Algemene opmerkingen

• Varieer in lettergebruik. Gebruik niet altijd $x$ en $y$, neem ook andere letters.
• Alle differentiaalvergelijkingen van de vorm $\frac{\d y}{\d x} = F(x,y)$ zijn op te lossen via scheiden van veranderlijken.