Eigenwaarden en eigenvectoren

1. Welke $\lambda$ is geen eigenwaarde van de matrix $\begin{pmatrix}1&0&0 \\ 0&2&0 \\ 0&0&3 \end{pmatrix}$:

• $\lambda = 0$
• $\lambda = 1$
• $\lambda = 2$
• $\lambda = 3$

Dit soort oefening is waarschijnlijk moeilijker te automatiseren. Bij voorkeur willen we gehele of eventueel rationale eigenwaarden.

Werk bijvoorbeeld ook met $2 \times 2$ matrices.

Hieronder een aantal voorbeelden van matrices met gehele eigenwaarden:

• $$ \begin{pmatrix}1&1&2 \\ 2&1&0 \\ 1&0&1\end{pmatrix} $$
• $$ \begin{pmatrix}4&1 \\ 2&3 \end{pmatrix} $$
• $$ \begin{pmatrix}2&1 \\ 1&2 \end{pmatrix} $$
• $$ \begin{pmatrix}2&0&0\\ 0&3&4 \\ 0&4&9\end{pmatrix} $$

2. Bepaal de eigenvector die hoort bij de eigenwaarde $\lambda = 1$ van de matrix $\begin{pmatrix}1&1&2 \\ 2&1&0 \\ 1&0&1 \end{pmatrix}$.

Deze vraag kan gesteld worden met alle eigenwaarden van de matrices die gebruikt en vermeld worden in (1.) (en uiteraard met nog vele andere matrices).

Een extra moeilijkheid hier ligt in het corrigeren van de uiteindelijke vorm van de eigenvector. Hier is niet één antwoord goed, maar alle veelvouden van de eigenvector zijn ook een goed antwoord. Zo zijn zowel $\begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ \frac{1}{2}\end{pmatrix}$ en $\begin{pmatrix}2 \\-2 \\-1\end{pmatrix}$ een juist antwoord, maar ook alle veelvouden daarvan.

Algemene opmerkingen

• De vragen die hier gesteld worden kunnen niet meer atomair genoemd worden. Ze kunnen wel als 0/1 beoordeeld worden.