Goniometrische identiteiten met specifieke hoeken

Vereenvoudig $\cos (\alpha - \pi) = \U5$.
Vul in: $\cos \pi/3 = \U5$.
Vereenvoudig $\cos(\alpha-\pi/3) = \U5$
Vereenvoudig zover mogelijk $\cos\alpha\cdot\tan\alpha = \U5$.
Vereenvoudig zover mogelijk $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha= \U5$.
Wat is de waarde van $\cos\alpha + \sin\alpha\tan\alpha$? (Multiple choice)

Details

1. Vereenvoudig $\cos (\alpha - \pi) = \U5$.

Gebruik cos, sin, tan, cot (ev. sec, cosec), hoeken $2\pi$, $3\pi$, $\pi$, $\pi/2$, $\pm \alpha$, ook omdraaien $\pi-\alpha$.

Alternatief: multiple choice: keuzes $\pm\cos\alpha$ en $\pm\sin\alpha$. (Analoog met $\tan,\cot$.)

2. Vul in: $\cos \pi/3 = \U5$.

Gebruik cos, sin, tan, … Hoeken $0,\pm\pi/6,\pm\pi/4,\ldots,\pm 11\pi/6$.

Alternatief: Graden ipv radialen.

3. Vereenvoudig tot een lineaire combinatie van $\cos\alpha$ en $\sin\alpha$:

$$ \cos(\alpha-\pi/3) = \U5 $$

Gebruik cos, sin, alle hoeken zoals in (2.) en ook $-\alpha$ (1.)

Opmerking Deze oefening kan verder opgesplitst worden in stappen.

4. Vereenvoudig zover mogelijk $\cos\alpha\cdot\tan\alpha = \U5$.

Volgende combinaties: cos tan, sin cot, cos sec, sin csc, tan cot (en omgewisseld), eventueel ook met delingen $\cos\alpha/\cot\alpha$.

5. Vereenvoudig zover mogelijk $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha= \U5$.

Ook mogelijk: $\tan^2 + 1$, $\cot^2 + 1$, $\sec^2-1$, $\csc^2-1$, $1 -\cos^2$, $1-\sin^2$ en omgekeerd.

Alternatief: kan eventueel gecombineerd worden met (4.)

6. Wat is de waarde van $\cos\alpha + \sin\alpha\tan\alpha$?

A. $\cos\alpha$, B. $\sin\alpha$, C. $\tan\alpha$, D. $\cot\alpha$, E. $\sec\alpha$, F. $\csc\alpha$,

Bekomen uit (5.) door te delen door cos, sin, …

7. Stel dat $\tan x = k$. Druk uit in termen van $k$:

$\tan(\pi-x) = \U4$
$\tan \left(\frac{\pi}{2}-x\right) = \U4$
$\tan(-x) = \U4$

Stel dezelfde vraag, maar voor $\sin x = k$ en $\cos x = k$.

8. Geef aan welke uitdrukkingen bij elkaar horen.

Reeks 1

(a) $\sin^4\theta - \cos^4\theta$
(b) $\frac{\sin \theta}{1-\cos \theta} - \frac{1}{\sin \theta}$
(c) $\sin \alpha \cdot \cot \alpha$
(d) $(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 + (\sin \alpha - \cos \alpha)^2$
(e) $\frac{\tan^2\alpha}{1+\tan^2\alpha}$
(f) $\tan \alpha \cdot \cot \alpha$
(g) $(1+\cot^2 \alpha)(1-\cos^2 \alpha)$

Reeks 2

(1) $\sin^2 \alpha$
(2) $2$
(3) $1$
(4) $\frac{1}{\tan \theta}$
(5) $\cos \alpha$
(6) $2\sin^2 \theta - 1$
(7) $1$

$$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \quad 1\quad&\quad2\quad&\quad3\quad&\quad4\quad&\quad5\quad&\quad6\quad&\quad7\quad \\ \hline &&&&&& \\ \hline \end{array} $$

Algemene opmerkingen

Notatie voor tangens en cosecans kunnen verschillen van cursus tot cursus.
Niet iedereen wil oefeningen met secans en cosecans.