Regel van de l’Hopital

Geval 1: $\lim_{x \to a}f(x) = \lim_{x \to a}g(x) = 0$

1. Gebruik de regel van de l’Hopital: $\lim_{x \to 3}\frac{27-x^3}{2x^2-11x+15} = \U4$

Merk op dat de regel van de l’Hopital ook geldt als $x \to \pm \infty$.

Geval 2: $\lim_{x \to a}f(x) = \lim_{x \to a}g(x) = \infty$

2. Gebruik de regel van de l’Hopital: $\lim_{x \to +\infty}\frac{2x^3+x^2+1}{3x^4-2x} = \U4$

Voorbeelden

• $\lim_{x \to 1}\frac{x^3-1}{x^3-3x^2+3x-1} = \U4$
• $\lim_{x \to +\infty}\frac{4x\sqrt{2x}+5}{\left(\sqrt{2x}+1\right)^3}$

---

Men kan moeilijkere gevallen bedenken waarbij onbepaaldheden van de vorm $0 \cdot \infty$ of $\infty - \infty$ teruggebracht kunnen worden tot de vorm $\frac{0}{0}$ of $\frac{\infty}{\infty}$ zodat de regel van de l’Hopital alsnog kan toegepast worden.

Voorbeelden

• $\lim_{x \to +\infty}\left(x \tan^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)\right) = \U4$
• $\lim_{x \to 0}\left(\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{x}\right) = \U4$

De bovenstaande voorbeelden vergen wat werk vooraf vooraleer de regel van de l’Hopital kan toegepast worden. Het kan dus een optie zijn om de vraag op een andere manier te stellen:

3. Schrijf de limiet $\lim_{x \to +\infty}\left(x \tan^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)\right)$ zodanig dat de regel van de l’Hopital toepasbaar wordt.