Limieten van irrationale functies

Limieten voor $x \to a$

Geval 1

De limiet is vlot te berekenen.

1. Bereken $\lim_{x \to 4}\sqrt{x-3} = \U4$

• In het geval $x \to 3$ moet er rekening gehouden worden met het feit dat $\lim_{x \to 3}$ strikt genomen niet bestaat: omdat de functie enkel gedefinieerd is als $x-3 \geq 0$, bestaat alleen de rechterlimiet. Vraag in dergelijke gevallen dus enkel naar de linker- of rechterlimiet, afhankelijk van dewelke voor die bepaalde functie bestaat.

---

Geval 2

Als de noemer voor $x \to a$ gelijk is aan nul en de teller niet gelijk aan nul, dan zal de functie oneindig groot worden in positieve of negatieve zin, afhankelijk van het teken van de functie in de buurt van $a$. Gebruik een tekentabel om de linker- en rechterlimiet te bepalen in de buurt van $x=a$.

2. Bereken $\lim_{x \to -2}\frac{x-1}{\sqrt{x+2}} = \U4$

Gebruik een $a \in \mathbb{R}$ zodanig dat $a$ een nulpunt is van de noemer, maar niet van de teller.

Voorbeelden

• $\lim_{x \to 1}\frac{x-5}{\sqrt{x(x-1)}} = \U4$
• $\lim_{x \to -2}\frac{x+3}{3-\sqrt{7-x}} = \U4$

---

Geval 3

Als zowel de teller en de noemer naar nul gaan als $x \to a$.

3. Bereken $\lim_{x \to 2}\frac{x-\sqrt{3x-2}}{x^2-2x} = \U4$.

Gebruik een functie die in teller en noemer eenzelfde nulpunt heeft.

Voorbeelden

• $\lim_{x \to -1}\frac{(x+1)^2}{2x+3-\sqrt{3x+4}} = \U4$
• $\lim_{x \to 0}\frac{x+2-\sqrt{2x+4}}{3x-1+\sqrt{x+1}}$

Limiet voor $x \to \pm \infty$

Geval 1

Wanneer $x$ voorkomt in de noemer en zowel teller als noemer naar $\pm \infty$ gaan.

4. Bereken $\lim_{x \to +\infty}\frac{2x-3+\sqrt{x^2+5}}{3x+1} = \U4$

Voorbeelden

• $\lim_{x \to +\infty}\frac{\sqrt{x^2-11}}{2x}$
• $\lim_{x \to +\infty}\frac{6x-1}{5x+\sqrt{x^2-4}}$

Gebruik ook $x \to -\infty$ in de oefeningen. Zorg er steeds voor dat teller en noemer naar $\infty$ gaan zodat een ongelijkheid van de vorm $\frac{\infty}{\infty}$ tevoorschijn komt.

Geval 2

Wanneer $x$ niet in de noemer voorkomt en een onbepaaldheid van de vorm $\infty - \infty$ voorkomt wanneer $x \to \pm \infty$.

5. Bereken $\lim_{x \to -\infty}\left(4x^2+x+2x\right) = \U4$

Merk op dat voor $x \to +\infty$ er geen onbepaaldheid optreedt (+\infty+\infty).

Voorbeelden

• $\lim_{x \to +\infty}\sqrt{x^2+2}-x = \U4$
• $\lim_{x \to -\infty}\left(x+1-\sqrt{x^2+6x-8}\right) = \U4$