Matrices en determinanten

1. Bereken $\text{det}\begin{pmatrix}4&3\\-2&1\end{pmatrix} = \U3$.

Van elke $2\times 2$ matrix kan je de determinant berekenen.
Er kunnen ook determinanten voorkomen met een onbekende ($k$, $\lambda$,$\dots$)

2. Bepaal $\begin{pmatrix}1&2\\-5&3\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0&-2\\9&-4\end{pmatrix} = \U6$

Bepaal ook het verschil en het product van twee $2\times 2$ matrices.
Gebruik voor alle bewerkingen ook $3 \times 3$ matrices.
Laat een matrix ook eens vermenigvuldigd worden met een reëel getal.

3. Ontwikkel de determinant $\begin{vmatrix}1&0&2 \\-2&5&1 \\ 1&-3&0\end{vmatrix}$ naar de eerste rij.

Er kan ook gevraagd worden naar de ontwikkeling naar de tweede of derde rij, of naar de eerste, tweede of derde kolom.
De ontwikkeling wordt eenvoudiger naarmate er meer nullen staan in de rij of kolom waarnaar ontwikkeld moet worden.

4. Gebruik de methode van Gauss-Jordan om de matrix $\begin{pmatrix}-2&-3&7 \\ 0&1&6 \\ 0&0& 3\end{pmatrix}$ terug te brengen tot de echelonvorm.

Opmerking In de opgave kan gekozen worden om de echelonvorm te vragen (bereik een bovendriehoeksmatrix), maar ook de ‘gereduceerde echelonvorm’ kan gevraagd worden (bereik een eenheidsmatrix).

5. Geef de dimensie van de matrix die bekomen worden door het vermenigvuldigen van een $2\times 3$ matrix met een $3\times 5$ matrix.

Hier kan eventueel voor een meerkeuze vraag gekozen worden. In dat geval kan ook de optie ‘het matrixproduct kan niet bepaald worden’ meegegeven worden.

Voorbeeld Geef de dimensie van de matrix die bekomen worden door het vermenigvuldigen van een $2\times 4$ matrix met een $4\times 5$ matrix.

$5\times 2$
$4 \times 4$
$2 \times 5$
het matrixproduct kan niet bepaald worden

6. Geef de getransponeerde van de matrix $\begin{pmatrix}1&2&3 \\ 4&5&6 \end{pmatrix}$.

Matrices van alle mogelijke dimensies zijn hier mogelijk.

7. Bereken de inverse van $\begin{pmatrix}3&8 \\ 2&5 \end{pmatrix}$.

Inversen enkel berekenen van vierkante matrices
Beperk het berekenen van inversen bij deze oefening tot $2 \times 2$ matrices
Sommige matrices hebben geen inverse (singulier matrices), namelijk wanneer de determinant gelijk is aan nul.

8. Geef aan van welk van de volgende matrices de inverse bepaald kan worden.

$$ \begin{pmatrix}1& 2 \\2 & 4\end{pmatrix} $$
$$ \begin{pmatrix}-2& 6 \\1 & 3\end{pmatrix} $$
$$ \begin{pmatrix}1& 3 \\2 & 4\end{pmatrix} $$
$$ \begin{pmatrix}5& 7 \\-5 & 7\end{pmatrix} $$

Zorg dat bij de meerkeuze minstens één matrix zit waarvoor de determinant nul is.

9. Bepaal de eigenwaarden van $\begin{pmatrix}4&5 \\ 2& 1 \end{pmatrix}$.

Deze vraag kan zeker opgesplitst worden in deelvragen (determinant berekenen, vierkantsvergelijking oplossen, $\dots$). Echter, om de vraag als enkele vraag te kunnen laten doorgaan, zouden we voorstellen om enkel $2 \times 2$ matrices te nemen.

10. Bepaal de adjudant van de matrix

$A = \begin{pmatrix}2&a&0 \\ -1&2&a \\0&3&-2 \end{pmatrix}$.

Deze vraag kan ook gesteld worden met $2 \times 2$ matrices.
Maak van deze vraag bijvoorbeeld ook een invulvraag: geef zelf een deel van de adjudant en laat een deel door de studenten invullen. Hieronder een voorbeeld:

Bepaal de adjudant van de matrix $A = \begin{pmatrix}2&-1&0 \\ 1&-3&2 \\3&0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3 & \U2 & 9 \\ 1 & 2 & \U2 \\ \U2 & -4 & -5\end{pmatrix}$

11.

Algemene opmerkingen

Bij het vermenigvuldigen, optellen en aftrekken van matrices zou het een optie kunnen zijn om bij de start van de oefening een zestal matrices te geven en sommen, verschillen en producten van telkens twee van deze matrices te vragen. Sommige sommen en producten zullen niet zinvol zijn (zullen niet gemaakt kunnen worden). Maak in de opgave duidelijk hoe aangeduid moet worden wanneer een som of product niet zinvol is.
Indien de regel van Sarrus behandeld is geweest in de lessen, kan gevraagd worden om de determinant van een $3 \times 3$ matrix te bepalen aan de hand van de regel van Sarrus.