Ontbinden in factoren

1. Vul het schema van Horner verder aan: $\begin{array}{c|cccc} & 1&5&-8&2 \\ 1 & &\U2 &\U2 &\U2 \\ \hline & \U2 & \U2&\U2&\U2 \end{array}$

Maak ook schema’s van Horner horende bij tweede-, vierde-, vijfde-, $\dots$ graadsvergelijkingen. De rest hoeft niet nul te zijn.
Werk met coëfficiënten in $\mathbb{Q}$ om het rekenwerk relatief eenvoudig te houden.
Gebruik coëfficiënten uit $\mathbb{R}$ wanneer je ook bewerkingen met vierkantswortels wilt toelaten.

2. Ontbind $x^2-25$ in factoren.

Gebruik ook lettervormen zoals: $-a^6+b^8$, $64-49c^2$, $\dots$

3. Ontbind $x^2-6x+9$ in factoren.

4. Bepaal een lineaire factor van de veelterm $x^3-6x^2+4x+1$.

Vertrek van het product van een lineaire factor en een willekeurige veelterm; op die manier kan je $a$ uit de lineaire factor $x-a$ in $\mathbb{Z}$ kiezen.
Een andere manier om dit te bevragen kan zijn om te vragen naar een nulpunt van de gegeven veelterm.
Wanneer er meerdere lineaire factoren zijn, moeten alle mogelijke antwoorden worden goedgekeurd.
Eventueel kan gevraagd worden naar het aantal lineaire factoren van een gegeven veelterm (hoewel dit geen basisvraag meer is omdat meedere competenties gebruikt moeten worden).

5. Welke van de volgende gehele getallen is een wortel van de vergelijking $x^3-x^2-x-2 = 0$.

$x = -1$
$x = 0$
$x = 1$
$x = 2$

Gebruik voor het gemak veeltermen die een gehele wortel hebben. Let erop dat drie van de vier antwoordmogelijkheden geen wortel van de vergelijking zijn.

6. (Deze vraag kan zeker 0/1 gequoteerd worden, maar is verre van een atomaire vraag. Het is de keuze aan de samensteller van de vragen of dergelijke (ingewikkeldere vraag) gebruikt kan worden.)

Gegeven is dat $(x+2)$ en $(x+3)$ factoren zijn van $5x^3+ax^2+b$. Bepaal de waarde van de constanten $a$ en $b$.

7. Als geweten is dat $(x+1)$ een factor is van $p(x) = 8x^3+ax^2+bx-1$ en wanneer men $p(x)$ deelt door $2x+1$ de rest 1 is, bepaal dan $a$ en $b$.

Algemene opmerkingen

Vragen (2.) en (3.) zijn wellicht de eenvoudigste oefeningen op het ontbinden in factoren. De merkwaardige producten (derde jaar SO) leiden tot het goede antwoord. (Oplossen van een vierkantsvergelijking kan hier ook, maar is minder efficiënt).