Integralen van rationale functies – splitsen in partieelbreuken

1. Bepaal $\int \frac{4x^3+2x^2}{x^4+2x^3+2x^2+2x+1} \d x= \U4$

In dit geval is de graad van de teller kleiner dan de graad van de noemer. De noemer – welke veelterm, verschillend van een constante, dit ook is – kan steeds ontbonden worden in factoren van de eerste en/of factoren van de tweede graad (met een discriminant kleiner dan nul).

De volledige breuk kan opgesplitst worden in partieelbreuken.

Er zijn echter verschillende gevallen bij het integreren van partieelbreuken. We bespreken er een aantal hieronder.

Geval 1: Integralen van het type $\int \frac{p}{ax+b} \d x$

2. Bepaal $\int \frac{3}{2x-1}\d x = \U4$

Integralen van deze vorm, waarbij een constante in de teller staat en een eerstegraadsfunctie in de noemer, kunnen steeds opgelost worden via substitutie.

De integraal zal echter niet altijd in de gewenste vorm staan. Wanneer de graad van de teller groter is dan de graad van de noemer, zullen we eerste een Euclidische deling uitvoeren zodat we en quotiënt en een rest bekomen. Dit wordt duidelijker bij het voorbeeld hieronder.

3. Bepaal $\int \frac{2x^3-3x^2+3x+2}{2x-1}\d x = \U4$

Na het uitvoeren van de Euclidische delingen, vinden we als quotiënt $x^2-x+1$ en als rest 3. Het integrandum is dus te herschrijven als $x^2-x+1 + \frac{3}{2x-1}$. Dit komt neer op enerzijds het integreren van een veelterm, anderszijds integreren van een rationale functie van de besproken vorm.

Geval 2: Integralen van het type $\int \frac{p}{(ax+b)^n}\d x$ $(n \in \mathbb{N}_0 \setminus {1})$

4. Bepaal $\int \frac{5}{(2x-1)^2}\d x = \U4$

Kies eender welke eerstegraadsveelterm voor de noemer. De integraal is, na substitutie, via de gekende regels voor integratie op te lossen.

Geval 3: Integralen van het type $\int \frac{px+q}{ax^2+bx+c}\d x$, met $D = b^2-4ac > 0$

5. Bepaal $\int \frac{x-5}{2x^2+x-1}\d x$.

Zorg in de noemer voor een kwadratische vorm die ontbindbaar is in twee veschillende factoren (er moeten dus twee verschillende nulpunten zijn). In dat geval herleid de oefening zich tot twee integralen van de vorm in Geval 1.

Geval 4: Integralen van het type $\int \frac{px+q}{ax^2+bx+c}\d x$ met $D = b^2-4ac = 0$

6. Bepaal $\int \frac{4x+5}{x^2-6x+9} \d x$.

Integralen van deze vorm, waarbij de kwadratische veelterm in de noemer twee dezelfde nulpunten heeft, kunnen herleid worden tot het bepalen van enerzijds een integraal uit Geval 1 en anderzijds een integraal uit Geval 2.

Geval 5: Integralen van het type $\int \frac{p}{ax^2+bx+c}\d x$ met $D = b^2-4ac < 0$

7. Bepaal $\int \frac{1}{x^2-2x+5}\d x = \U4$

Wanneer de noemer een kwadratische vorm is zonder nulpunten en de teller een constante, kan dergelijke integraal herleid worden tot een van de vorm $\int \frac{1}{u^2+a^2}$.

Geval 6: Integralen van het type $\int \frac{px+q}{ax^2+bx+c}\d x$ met $D = b^2-4ac < 0$

8. Bepaal $\int \frac{4x-1}{x^2+2x+3}\d x = \U4$.

Integralen van deze vorm (lineaire veelterm in de teller, kwadratische veelterm zonder nulpunten in de noemer) kunnen herleid worden tot enerzijds een integraal uit Geval 5, en anderszijds tot een integraal van het type $\int \frac{f’(x)}{f(x)}$ zoals beproken in Substitutie.

Algmene opmerkingen

Andere oefeningen

Dit is een aparte oefening die hierbij aanleunt.

9. Druk $f(x) = \frac{x^2-8x+9}{(1-x)(2-x)^2}$ uit in partieelbreuken.