Limieten van rationale functies

Limieten voor $x \to a$

Geval 1

Het meest eenvoudige geval waarbij zowel teller en noemer niet naar nul gaan voor $x \to a$.

1. Bereken $\lim_{x \to 1}\frac{x+1}{x^2-4} = \U4$

Kies de functie zodanig dat dit reëel getal geen nulpunt is van zowel teller als noemer. Of kies een reëel getal dat geen nulpunt is van teller of noemer.

Voorbeeld

$\lim_{x \to 2}\frac{x^2-3}{2x^2+3x} = \U4$

Geval 2

Teller $\neq 0$ en noemer $\to 0$. In dit geval zal de functie oneindig groot worden in positieve of negatieve zin (afhankelijk van het teken van de functie in de buurt van $a$). Gebruik een tekentabel van de functie om de linker- en rechterlimiet te bepalen.

2. Bereken $\lim_{x \stackrel{>}{\to} 2}\frac{x+1}{x^2-4} = \U4$

Voorbeelden

$\lim_{x \stackrel{>}{\to} 0}\frac{2}{x^3-x^2} = \U4$
$\lim_{x \stackrel{>}{\to} 3}\frac{2x^2-3x-2}{x^2-2x-3} = \U4$

Vraag ook eens de linkerlimiet.

Geval 3

Zowel teller als noemer naderen naar nul. In dit geval kan in teller en noemer een factor $(x-a)$ voorop gezet worden.

3. Bereken $\lim_{x \to -1}\frac{x^2-2x-3}{x^2+3x+2} = \U4$

Gebruik in dit geval veeltermen in teller en noemer met eenzelfde nulpunt.

Limieten voor $x \to \pm \infty$

4. Bereken $\lim_{x \to +\infty}\frac{2x^3+6x-5}{3x^3-2x^2+3} = \U4$

Gebruik ook $x \to -\infty$
Gebruik in teller en noemer elke willekeurige veelterm $\sum_{i=0}^na_ix^i$.
Dergelijke limiet van een rationale functie is gelijk aan de limiet van het quotiënt van de termen uit teller en noemer met de hoogste graad.