Integratie met eenvoudige substitutie

1. Bepaal de integraal $\int \cos 2x \d x = \U4$

Gebruik ook $\sin 2x$, $- \cos 2x$, $- \sin 2x$, $e^-x$ maar eveneens $\sin nx$, $\cos nx$ of $e^{nx}$.

2. Bepaal de integraal $\int(2x-3)^4 \d x = \U4$

Alle integralen van de vorm $\int (ax+b)^n \d x, n \in \mathbb{R}$ kunnen berekend worden via een eenvoudige substitutie.

3. Bepaal de integraal $\int \frac{1}{1+9x^2} \d x$.

Alle integralen van de vorm $int \frac{1}{1+px^2}\d x$ kunnen via eenvoudige substitutie worden opgelost $(p \in \mathbb{R})$. De oefening is misschien iets eenvoudiger wanneer $p$ duidelijk een volkomen kwadraat is. Echter, ook kan men voor $p$ een niet-volkomen kwadraat kiezen; in dat geval zullen er vierkantswortels opduiken in het antwoord.

4. Bepaal de integraal $\int (x^2-3x+1)^4(2x-3)\d x = \U4$

Merk op dat hierbij $2x-3$ de afgleide is van $x^2-3x+1$. Algemeen kan men elke integraal met dergelijk integrandum berekenen via substitutie. Neem algemeen een integraal van de vorm $\int f^n(x)\cdot f’(x) \d x$.

Voorbeelden

5. Bepaal de integraal $\int \frac{\d x}{x \ln x} = \U4$.

Hierbij is het zo dat $\frac{1}{x}$ de afgeleide is van $\ln x$. Algemeen kan een eenvoudige substitutie gebruikt worden om integralen van de vorm $\int \frac{f’(x)}{f(x)}\d x$ te bepalen.

Voorbeelden