Vergelijkingen en ongelijkheden

Ongelijkheden

Eerste graad

Geval 1: geen absolute waarden

1. Bepaal voor welke waarden van $x$ de ongelijkheid $x+1<8$ geldig is. Geef een interval als antwoord.

2. Los de ongelijkheid $-6x-2 <34$ op.

Deze formulering is iets anders dan in (1.).
Neem ook eens $>$, $\geq$ of $\leq$.

Geval 2: absolute waarden in één van beide leden

2. Bepaal voor welke $x$-waarden de ongelijkheid $\abs{x-3}<5$ geldig is.

Ook een schets van de grafiek van deze functie kan gevraagd worden.
De ongelijkheid kan uitgebreid worden door in beide leden een lineaire functie zetten, bijvoorbeeld $\abs{x-3}<x+5$.

Geval 3: absolute waarden in beide leden

3. Bepaal voor welke waarden van $x$ de ongelijkheid $\abs{3x-1} < \abs{x+4}$ geldt. Geef een interval als antwoord.

Tweede graad

4. Geef door middel van een interval aan voor welke $x$-waarden de functie met als functievoorschrift $k(x) = x^2+4x-2$ kleiner is dan nul.

Formuleer de opgave anders: Los de ongelijkheid $x^2+4x-2 < 0$ op.
Nog een iets andere opgave (die de vraag meer opdeelt): geef de tekentabel die hoort bij de functie met als functievoorschrift $k(x) = x^2+4x-2$. Duidt vervolgens aan waar de functie negatief wordt.
Derde mogelijke formulering: Een kromme heeft $y = 2x^2-6x+5$ als vergelijking. Voor welke $x$-waarden zal $y > 13$?

Gelijkheden

5. Herleid de volgende uitdrukking $3x+ \frac{3}{4}x - 1 = 5x$ naar $x = \dots$

Hogere machten van $x$ mogen ook voorkomen, maar slechts één macht van $x$ per vergelijking (anders kunnen vierkantsvergelijkingen of $n$-de graadsvergelijking optreden die meerdere oplossingen voor $x$ hebben).

6. Zet de uitdrukking $\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2}$ op gelijke noemer.

willekeurige sommen van (eenvoudige) rationale functies kunnen dienst als oefeningen op het gelijknamig maken. Enkele voorbeelden:

$\frac{3(2x-1)}{x(x+1)} - \frac{3}{x+1}$
$\frac{2x}{x-2} - \frac{2}{x+2} + \frac{x-6}{x^2-4}$
$\frac{2}{x-2}+\frac{6}{x+3} - 1$

7. Los $\abs{x^2-x+1} = \abs{4+x}$ op in $\mathbb{R}$.

8. Bepaal de coördinaat van de snijpunten van de krommen met als vergelijkingen $f(x) = \frac{1}{2}x-2$ en $g(x) = 4+x-\frac{1}{2}x^2$.

Stel de vraag eventueel zo dat er een ongelijkheid moet opgelost worden: voor welke waarden van $x$ is $f(x) > g(x)$?

9. Gegeven zijn $f(x)=2x+1$ en $g(x)=\frac{2x-1}{x+3}$.

Mogelijke vragen hierbij

Los de vergelijking $g(f(x))=x$ op.
Bepaal $f^{-1}(x)$.
Bepaal $g^{-1}(x)$.
Hoeveel oplossingen heeft de vergelijking $g^{-1}(x) = x$?

10. Bepaal de waarden voor $k$ waarvoor de krommen $y=kx^2-3x$ en $y=x-k$ elkaar niet snijden.

11. Los de vergelijking $3\cdot 9^x + 3\cdot 9^x + 3\cdot 9^x = 27$.

$$ x= \U4 $$

Algemene opmerkingen

Zorg bij de ongelijkheden voor zowel een negatief als positief teken wanneer een factor moet overgebracht worden. Overbrengen van een negatieve coëfficiënt zorgt dat het de ongelijkheid omdraait. Dit is vaak een struikelblok bij het oplossen van ongelijkheden.
Laat bij zowel gelijheden als ongelijkheden $x$ ook voorkomen in zowel linker- als rechterlid. Bijvoorbeeld: $\frac{x-2}{2} < -4x+8$ of $7(x-3)<8x-7$.
De veranderlijke $x$ kan ook voorkomen in teller en noemer. Bijvoorbeeld: $\frac{-3x-27}{x}<6$.
Bij de ongelijkheden werd steeds gewerkt met vergelijkingen. Een alternatief zou kunnen zijn om de oplossing grafisch te bepalen. Dit betekent dus dat de functievoorschiften van de functies niet gegeven zijn. Bijvoorbeeld (een aantal mogelijke vragen die bij dergelijke figuur gesteld kunnen worden):

graf

Voor welke waarden van $x$ geldt dat $g(x) < 4$? (Een goede schatting op basis van de grafiek is in orde.)
Voor welke waarden van $x$ geldt dat $g(x)<f(x)$?
Voor welke waarden van $x$ geldt dat $g(x)>f(x)$?
Voor welke waarden van $x$ geldt dat $f(x)-g(x) = 0$?

Merk op dat duidelijk moet aangeven worden (bij voorkeur op de figuur) dat $f(x)$ de rechte is en $g(x)$ de kwadratische functie.

Alle voorbeelden die gebruikt werden waren veeltermfuncties of rationale functies. Laat eventueel ook eenvoudige exponentiële (on)gelijkheden toe zoals $e^x + 5 = 0$ of irrationale (on)gelijheden zoals $\sqrt{5x-3}=\sqrt{2}$.