Veeltermfuncties

1. Geef het tekenverloop van de functie $f(x) = -x^2 + 6x -3$.

Deze vraag kan bij elke vierkantsvergelijking in $\mathbb{R}$ worden gesteld.
Omdat deze vraag eigenlijk uit meerdere delen bestaat (nulpunten berekenen en tekenverloop opstellen), zou de opgave vereenvoudigd kunnen worden door toe te laten de nulpunten als $x_1$ en/of $x_2$ te noteren. Op die manier ligt de focus enkel en alleen op het tekenschema.

2. Geef de coëfficiënt bij $x^4$ in de ontwikkeling van $(1-2x)^5$.

Vraag ook coëfficiënten bij $x^5, x$ en $x^0$. Dit zijn de eenvoudigste om te bepalen. De coëfficiënten bij $x^2$ en $x^3$ bepalen vraagt heel wat meer rekenwerk.

3. Bepaal het domein van $f(x) = 2x^3-2x^2+3x+4$.

Gebruik elke willekeurige veeltermfunctie; het domein is steeds $\mathbb{R}$.

4. Bepaal de getalwaarde van $f(x)= x^4-3x^3+5x-2$ in $x= 3$.

Voor deze zeer eenvoudige oefening kan je eender welke veelterm nemen en bij voorkeur een $x$-waarde die het rekenwerk niet onnodig moeilijk maakt.

5. Bepaal de $x$-coördinaat van de top van de functie met als functievoorschrift $f(x) = 3x^2+4x-3$.

Vraag ook de $y$-coördinaat.
Stel deze vraag uitsluitend bij kwadratische functies.

6. Vul de factor aan die nodig is om een ware gelijkheid te verkrijgen:

$$ (\U4)(x-5) = x^2-25 $$

Verloop van functies

Bespreken van het verloop van functies kan men doen voor onder andere veeltermfuncties, rationale of irrationale functies.

Het voorbeeld hieronder is volledig gebaseerd op de functie met als functievoorschrift $g(x) = x^3-3x^2+2$.

1. Bepaal het domein van de functie $f$.

2. Bepaal het bereik van de functie $f$.

3. Bepaal de nulpunten van de functie $f$.

4. Bepaal $\lim_{x \to +\infty}f(x)$.

Bepaal ook de limiet voor $x \to -\infty$.

5. Vul de tekentabel verder:

$$ \begin{array}{c|ccccccc} x&& x_1 & & x_2 & & x_3 & \\ \hline f(x) & \U2 & 0 & \U2 & 0& \U2 &0& \U2 \end{array} $$

Ideaal zou zijn mocht deze oefening geïmplementeerd kunnen worden door de nulpunten in de tabel te zetten en de onderste rij ($f(x)$) te laten aanvullen.

6. Bepaal de afgeleide van deze functie $f$.

7. Duidt aan welke grafiek bij deze functie hoort.

Andere functies waarvoor dezelde vragen gesteld kunnen worden (bespreking van de functie)

$g(x)= x^4-8x^2+7$
$h(x) = -x^3-3x^2+4$
$\frac{x^2-4}{x^2-6x}$
$\sqrt{4-x^2}$
$\frac{x^2-9}{x^2+3x}$

Ook andere veeltermfuncties, rationale en irrationale functies kunnen hier dienst doen.

8. De rechte door de punten $(0,0)$ en $(3,6)$ en de rechte met vergelijking $y=2x+3$ zijn

evenwijdig
kruisend
snijdend

Algemene opmerkingen

Extra te vragen bij kwadratische functies: coördinaten van de top.
Bereik en beeld zijn dezelfde begrippen.

Functies samenstellen

1. Bepaal $f(g(2))$ als je weet dat $f(x)=x+3$ en $g(x)= 2x$.

Vraag eveneens $g(f( \cdot ))$
Neem voor $f$ en $g$ ook andere functies zoals veeltermfuncties met rationale coëfficiënten, rationale of irrationale functies.

2. Stel dat $f(x) = 2x+1$ en $g(x) = x^2-2$.

Mogelijke korte vragen bij dergelijke oefening

Geef een uitdrukking voor $f(g(x))$.
Geef een uitdrukking voor $g(f(x))$.
Voor welke waarde van $a$ zal $f(g(a)) = g(f(a))$?
Voor welke waarde van $b$ zal $g(b) = b$ (Hou deze vraag bij tweedegraadsvergelijkingen)

Euclidische deling

1. Bepaal quotiënt en rest bij deling van $x^4+x^3+3x^2+12x+6$ door $x^2-x+4$.

Deze vraag kan gesteld worden voor elke twee veeltermen waarvoor de graad van de deler kleiner of gelijk is aan de graad van het deeltal.

$$ Q(x) = \U4 $$

$$ R(x) = \U4 $$

2. (Variant op vraag 1) De rest bij deling van $x^4+x^3+3x^2+px+q$ door $x^2-x+4$ is 0. Bepaal $p$ en $q$.