Goniometrie

Hieronder volgen een aantal eenvoudige oefeningen op het gebruik van goniometrische formules zoals som- en verschilformules, verdubbelingsformules, maar ook de echte basisformules van de goniometrie. Hoewel deze vragen niet expliciet worden gevraagd op de ingekeken examens, behoren deze competenties toch bij de basiscompetenties die gekend zouden moeten zijn door elke student. Het gebruik van goniometrische formules kan bijvoorbeeld terugkomen bij het bereken van integralen.

Voorbeeld 1

Vereenvoudig zo ver mogelijk $\sin \alpha \cdot \cot \alpha = \underline{\hspace{3em}}$

Antwoord

De oplossing is hier eenvoudig te vinden via de formule $\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$. We krijgen namelijk:

$$ \sin \alpha \cdot \cot \alpha = \sin \alpha \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \cos \alpha. $$

Voorbeeld 2

Vereenvoudig zo ver mogelijk $\tan \alpha \cdot \cot \alpha = \underline{\hspace{3em}}$

Antwoord

De oplossing lijkt hier zeer goed op de vorige opgave, met dat verschil dat hier twee formules moeten gebruikt worden (twee inverse formules, waardoor het antwoord 1 zal zijn.)

$$ \tan \alpha \cdot \cot \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = 1 $$

Voorbeeld 3

Vereenvoudig zo ver mogelijk $(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 + (\sin \alpha - \cos \alpha)^2 = \underline{\hspace{3em}}$

Deze vraag vraagt al wat meer werk, vandaar dat deze zou kunnen opgesplitst worden in deelvragen. Hieronder een voorbeeld van een mogelijke opdeling:

Deel 1 Werk de haakjes uit: $(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = \underline{\hspace{8em}}$

Antwoord $(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = \sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha$

Deel 2 Vereenvoudig de onderstaanduide uitdrukking zo ver mogelijk:

$$ \sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha + \sin^2\alpha - 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha = \underline{\hspace{3em}} $$

Merk op dat hier enkel de kennis van de grondformule van de goniometrie nodig is.

Antwoord

$$ \sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha + \sin^2\alpha - 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha = 2 $$

Voorbeeld 3

Als we de uidrukking $\frac{2\tan\alpha}{1+\tan^2\alpha}$ vereenvoudigen, dan bekomen we

$\cos2\alpha$
$\sin2\alpha$
$2\tan\alpha$
$2\cot\alpha$

Antwoord Wanneer we de uitdrukking uitwerken, krijgen we $\frac{2\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}{1 + \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}} = 2\sin\alpha\cos\alpha.$

Dit is net de verdubbelingsformule voor $\sin2\alpha$. Het goede antwoord was dus het tweede.

Voorbeeld 4

Gebruik som-en verschilformules en verdubbelingsformules om de volgende gelijkheid aan te tonen:

$$ \sin3\alpha = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha $$

Opnieuw kan deze vraag in meerdere deelvragen worden opgesplitst.

Deel 1 Herschrijf $\sin3\alpha$ zodanig dat een somformule toepasbaar wordt.

$$ \sin3\alpha = \U5 $$

Antwoord Een mogelijke oplossing is $\sin3\alpha = \sin(\alpha + 2\alpha)$. Hetzelfde resultaat zal bekomen worden wanneer men $\sin(2\alpha + \alpha)$ neemt.

Deel 2 Gebruik de somformules om $\sin(\alpha + 2\alpha)$ uit te werken.

$$ \sin(\alpha + 2\alpha) = \underline{\hspace{8em}} $$

Antwoord $\sin(\alpha + 2\alpha) = \sin\alpha\cos2\alpha + \cos\alpha\sin2\alpha$

Deel 3 Gebruik de verdubbelingsformules om de factoren in het vet te vervangen.

$$ \sin\alpha**\cos2\alpha** + \cos\alpha**\sin2\alpha** = \sin\alpha \U5 + \cos\alpha \U5 $$

Merk op dat hierbij voor $\cos2\alpha$ drie verschillende mogelijkheden zijn:

$\cos2\alpha = $

$\cos^2\alpha - \sin^2\alpha$
$2\cos^2\alpha - 1$
$1-2\sin^2\alpha$

Antwoord

$$ \sin\alpha\ \underline{\cos2\alpha} + \cos\alpha\ \underline{\sin2\alpha} = \sin\alpha (1-2\sin^2\alpha) + \cos\alpha 2\sin\alpha\cos\alpha $$

Deel 4 Herschrijf onderstaande uidrukking zodat er geen $\cos\alpha$ meer voor komt:

$$ \sin\alpha\ (1-2\sin^2\alpha) + \cos\alpha\ (2\sin\alpha\cos\alpha) = \underline{\hspace{8em}} $$

Merk op dat de opgave eenvoudiger gemaakt kan worden door $\cos\alpha\ (2\sin\alpha\cos\alpha)$ zelf te schrijven in de opgave als $2\cos^2\alpha\sin\alpha$. Dan is gemakkelijker te zien dat de grondformule kan gebruikt worden om de cosinus weg te werken.

Antwoord

$$ \sin\alpha\ (1-2\sin^2\alpha) + \cos\alpha\ (2\sin\alpha\cos\alpha) = \sin\alpha\ (1-2\sin^2\alpha) + 2\sin\alpha\ \underline{(1-\sin^2\alpha)} $$

Deel 5 Vul de gepaste coëfficiënten in:

$$ \sin\alpha(1-2\sin^2\alpha) + 2\sin\alpha(1-\sin^2\alpha) = \underline{\hspace{2em}}\sin\alpha + \underline{\hspace{2em}}\sin^3\alpha $$

Antwoord

$$ \sin\alpha(1-2\sin^2\alpha) + 2\sin\alpha(1-\sin^2\alpha) = 3\sin\alpha + (-4)\sin^3\alpha $$