Berekenen van oneigenlijk integralen

Voorbeeld 1

Vraag Bereken de oneigenlijke integraal $\int_1^e\frac{ln x}{x\sqrt{2-2\ln x}}\d x$. Geef aan waarom dit een oneigenlijke integraal is.

Opsplitsing in atomaire bevragen

Vraag 1 Waarom is de bepaalde integraal $\int_1^e\frac{ln x}{x\sqrt{2-2\ln x}}\d x$ een oneigenlijke integraal?

Oplossing

Als we de limiet nemen voor $x \to e$, $x < e$, dan wordt de noemer van het integrandum nul. We kunnen het integrandum dus niet evalueren in $e$, er zal m.a.w.\ een verticale asymptoot bij $x=e$ zijn.

Merk op dat dit een open vraag is, waarvan het een stuk moeilijker lijkt om deze te implementeren in een computerprogramma. Deze vraag zou dan uitsluitend bedoeld zijn om gequoteerd te worden door een persoon.

Vraag 2 Welke integratietechniek zal je toepassen om de integraal $\int \frac{\ln x}{x\sqrt(2-2\ln x)}\d x$ te berekenen?

partiële integratie
substitutie
splitsen in partieelbreuken

Oplossing

Substitutie van $\ln x = t$ zal de gewenste techniek blijken te zijn.

Vraag 3 Stel dat we voor het berekenen van de integraal $\int \frac{\ln x}{x\sqrt{2-2\ln x}}\d x$ de substitutie $\ln x =t$ doorvoeren. Voer deze substitutie door en zorg dat de variabele $x$ niet meer in het nieuwe integrandum voorkomt.

$$ \int \frac{\ln x}{x\sqrt{2-2\ln x}}\d x = \int ... \d t $$

Oplossing

$$ \int \frac{\ln x}{x\sqrt{2-2\ln x}}\d x = \int \frac{t}{\sqrt{2-2t}}\d t $$

Vraag 4 Gegeven is de integraal $\int \frac{t}{\sqrt{2-2t}}\d t$. Welke integratietechiek zal je toepassen om deze integraal te berekenen?

partiële integratie
substitutie
splitsen in partieelbreuken

Oplossing

Partiële integratie is hier de oplossing.

Vraag 5 Bepaal de integraal van $\frac{1}{\sqrt{2-2t}}$.

$$ \int \frac{1}{\sqrt{2-2t}} \d t = ... $$

Oplossing

$$ \int \frac{1}{\sqrt{2-2t}} \d t = -\sqrt{2-2t} $$

Vraag 6 Bereken $\int \sqrt{2-2t}\d t$.

Oplossing

De manier van werken is volledig dezelfde als bij vraag 5. Substitutie van $2-2t= z$ zal de integraal herleiden tot een elementaire integraal en dan vinden we dat $\int \sqrt{2-2t}\d t = -\frac{1}{3}u^{\frac{3}{2}}$.

Vraag 7 Evalueer de uitdrukking $-\frac{1}{3}\sqrt{2-2\ln x}(\ln x + 2)$ tussen de grenzen 1 en $e$ = \U5.

$$ \left[-\frac{1}{3}\sqrt{2-2\ln x}(\ln x + 2\right] _1^e $$

Oplossing

$$ \left[-\frac{1}{3}\sqrt{2-2\ln x}(\ln x + 2\right] _1^e = \frac{2\sqrt{2}}{3} $$

Voorbeeld 2

Oorspronkelijke opgave Bereken de oneigenlijk integraal

$$ \int_0^a\frac{1}{x\ln^2x}\d x $$

Deel a Welke grens ($0$ of $a$) zorgt ervoor dat dit een oneingenlijke integraal is?

$x=0$
$x=a$

Antwoord $x=0$ zorgt hier voor het probleem. Als $x$ loopt vanaf 0, dan is dit een integraal waarbij de integrand niet begrensd is binnen de integratiegrenzen.

Deel b Herschrijf de noemer van de onderstaande uitdrukking als een quotiënt zodat de limiet voor $x \to 0$, $x > 0$ van deze uitdrukking met de regel van de l’Hôpital berekend kan worden.

$$ \lim_{\lim x \stackrel{>}{\to} 0} \frac{1}{x\ln^2x} = \lim_{\lim x \stackrel{>}{\to} 0}\U5 $$

Antwoord

$$ \lim_{\lim x \stackrel{>}{\to} 0} \frac{1}{x\ln^2x} = \lim_{\lim x \stackrel{>}{\to} 0}\frac{\frac{1}{x}}{\ln ^2x}. $$

Deel c Welke onbepaaldheid krijg je wanneer je $\lim_{x \stackrel{>}{\to} \infty}\frac{\frac{1}{x}}{\ln ^2x}$ wilt bepalen?

$\frac{0}{0}$
$\frac{\infty}{\infty}$

Deel d Pas de regel van de l’Hôpital toe op de onderstaande uitrdukking (en vereenvoudig zo ver mogelijk):

$$ \frac{\frac{1}{x}}{\ln^2 x} \stackrel{H}{=} \U5 $$

Antwoord

$$ \frac{\frac{1}{x}}{\ln^2 x} \stackrel{H}{=} \frac{\frac{-1}{x^2}}{\frac{2\ln x}{x}} = \frac{\frac{-1}{x}}{2\ln x} $$

Deel e Gegeven is de uitrdukking $\frac{\frac{-1}{x}}{2\ln x}$. Pas hierop de regel van de l’Hôpital toe (schrijf de gevonden uitdrukking zo eenvoudig mogelijk) en vind de limiet van de uitdrukking voor $x \to 0$, $x > 0$.

$$ \frac{\frac{-1}{x}}{2\ln x} \stackrel{H}{=} \U5 $$

en dit heeft als limiet voor $x \to 0$

$$ \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{-1}{x}}{2\ln x} = \U5 $$

Antwoord

Toepassen van de l’Hôpital geeft:

$$ \frac{\frac{-1}{x}}{2\ln x} \stackrel{H}{=} \frac{\frac{1}{x^2}}{\frac{2}{x}} = \frac{1}{2x} $$

en dit heeft als limiet voor $x \to 0$

$$ \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{-1}{x}}{2\ln x} = +\infty $$

Deel f Welke integratiemethode zal je toepassen om de onderstaande integraal op te lossen? Indien verschillende opties mogelijk zijn, kies dan diegenen die op de meest efficiënte of snelle manier tot de oplossing leidt.

$$ \int \frac{\d x}{x\ln ^2 x} $$

Partiële integratie
Substitutie
Andere methoden

Antwoord

Substitutie zal hier de meest efficiënte methode zijn om tot de oplossing te komen.

Deel g Stel dat substitutie de meest efficiënte methode is om de integraal $\int \frac{\d x}{x\ln ^2 x}$ te berekenen. Welke substitutie zal je hier doorvoeren?

$$ \text{Substitutie van } \U5 $$

Antwoord

Aangezien de afgeleide van $\ln x$ gelijk is aan $\frac{1}{x}$, ligt het vrij voor de hand dat de juiste substitutie hier $\ln x = t$ zal zijn.

Merk op dat ook substitutie van $\ln^2 x = t$ tot de goede oplossing zal leiden.

Deel h Pas de substitutie $\ln^2x = t$ toe op de onderstaande integraal. Vul aan hoe het nieuwe integrandum er, na substitutie, uit zal zien.

$$ \int \frac{\d x}{x\ln^2 x} = \int \U5\d t $$

Antwoord

$$ \int \frac{\d x}{x\ln^2 x} = \int \U5\d t $$

Opmerking 1 Door $\ln^2 x = t$ te gebruiken, komt er een extra moeilijkheid kijken bij de substitutie. De afleiding gaat namelijk als volgt:

$\ln^2 x = t \Rightarrow 2\ln x \frac{1}{x}\d x = \d t$. Hier staat nog een factor $2\ln x$ teveel (die komt namelijk niet voor in het integrandum). Echter, door de substitutie van $\ln^2 x = t$, weten we ook dat $\ln x = \sqrt{t}$, waardoor de factor $2\ln x$ kan vervangen worden door $2\sqrt{t}$ en dan op zijn beurt naar het rechterlid kan gebracht worden, waardoor we krijgen dat

$$ \frac{1}{x}\d x = \frac{1}{2\sqrt{t}} \d t $$

wat wel kan vervangen worden in het integrandum. Het integrandum in $t$ wordt dan:

$$ \int \frac{\d x}{x\ln^2 x} = \int \frac{1}{2 t^{3/2}}\d t $$

Opmerking 2 De vraag kan eenvoudiger gemaakt worden door de substitutie $\ln x =t$ te vragen. De hierboven beschreven moeilijkheid is dan niet aan de orde.

Deel i Bereken

$$ \int \frac{1}{2t^{3/2}} = \U5 $$

Antwoord

$$ \int \frac{1}{2t^{3/2}} = -\frac{1}{\sqrt{t}} $$

Deel j Evalueer de uitdrukking $- \ln x$ tussen de grenzen $t$ en $a$:

$$ \left[-\ln x\right]_t^a = \U5 $$

Antwoord

$$ \left[-\ln x\right]_t^a = -\ln a + \ln x $$