Omwisselen van integratievolgorde

Oorspronkelijke vraag Verwissel de integratievolgorde in de onderstaande integraal $\int_0^2 \int_{x^2}^{4x^2}f(x,y)\d y\d x.$

  1. Schets hieronder over welk gebied geïntegreerd moet worden.

Oplossing

fig

  1. Wanneer we de integratievolgorde omwisselen (projecteren op de $y$-as), zullen we het gebied waarover geïntegreerd wordt, moeten opsplisten in $\underline{\hspace{2em}}$ delen. Duidt deze delen aan op de figuur.

Oplossing

fig

  1. Gegeven zijn de functies $f(x) = x^2$ en $g(x) = 4x^2$. Geef de coördinaten van de punten $A$ en $B$ op de onderstaande figuur.

fig

Oplossing

$A(2,4)$ en $B(2,16)$.

Merk op dat de functies bij deze dubbelintegraal vrij eenvoudig zijn. Een complexere oefening kan bijvoorbeeld zijn wanneer moet geïntegreerd worden over een cirkelsector.

  1. Op de onderstaande figuur staat het gebied waarover geïntegreerd moet worden, weergegeven. De oppervlakte van dit gebied wordt gegeven door $\int_0^2\int_{x^2}^{4x^2}f(x,y)dy\,\textrm{d}x$. Vul de uitdrukking hieronder verder aan zodat de oppervlakte van ditzelfde gebied berekend wordt door te projecteren op de $y$-as.
$$ \int_{\underline{\hspace{2em}}}^{\underline{\hspace{2em}}}\int_{\underline{\hspace{2em}}}^{\underline{\hspace{2em}}}f(x,y)d\underline{\hspace{2em}}d\underline{\hspace{2em}} + \int_{\underline{\hspace{2em}}}^{\underline{\hspace{2em}}}\int_{\underline{\hspace{2em}}}^{\underline{\hspace{2em}}}f(x,y)d\underline{\hspace{2em}}d\underline{\hspace{2em}} $$

Opmerking Een alternatief zou kunnen zijn om niet onmiddellijk naar integralen te vragen, maar eerst de grenzen voor $x$ en $y$.

Voorbeeld Wanneer het gebied wordt opgesplitst voor $y$ zoals in de figuur stond (zie de vorige figuur), dan worden voor gebied 1 (G1) de grenzen voor $y$ gegeven door $\underline{\hspace{2em}}$ en $\underline{\hspace{2em}}$ en voor $x$ door $\underline{\hspace{2em}}$ en $\underline{\hspace{2em}}$. Voor gebied twee zijn de grenzen voor $y$ $\underline{\hspace{2em}}$ en $\underline{\hspace{2em}}$, voor $x$ zijn dit $\underline{\hspace{2em}}$ en $\underline{\hspace{2em}}$.

Oplossing

$$ \int_0^4\int_{\sqrt{y}/2}^{\sqrt{y}}f(x,y)\,\textrm{d}x\d y + \int_4^{16}\int_{\sqrt{y}/2}^2f(x,y)\,\textrm{d}x\d y $$

Bespreking

In dit voorbeeld werd gevraagd om de integratievolgorde te wisselen en dus te projecteren op de $y$-as. Een ander voorbeeld zou kunnen zijn waarbij geprojecteerd moet worden op de $x$-as:

Verwissel de integratievolgorde in $\int_0^{\sqrt{3}}\int_{\frac{y}{\sqrt{3}}}^{\sqrt{4-y^2}}e^{-x^2-y^2}\,\textrm{d}x\d y$.

Het gebied tekenen is in dit geval mogelijks iets moeilijker, net omdat hier al geprojecteerd wordt op $y$ en niet op $x$.

  1. Duidt op de figuur hieronder aan over welk gebied wordt geïntegreerd.

Oplossing

  1. Bepaal in de figuur hierboven de coördinaat van het snijpunt van de oranje rechte met de blauwe kromme.

Oplossing $P(1,\sqrt(3))$

  1. Bekijk dezelfde figuur en beschouw de oppervlakte $\int_0^{\sqrt{3}}\int_{\frac{y}{\sqrt{3}}}^{\sqrt{4-y^2}}e^{-x^2-y^2}\,\textrm{d}x\d y$ van het blauwe gebied. Geef de vergelijking van de oranje rechte $r$ en de blauwe kromme $k$ in functie van $x$.
$$ r: f(x) = \U5 $$
$$ k: g(x) = \U5 $$

Oplossing

$f(x) = \sqrt(3)x$ en $g(x) = \sqrt{4-x^2}$

  1. Integreer het blauwe gebied in de onderstaande figuur door te projecteren op de $x$-as.
$$ \int_{\underline{\hspace{2em}}}^{\underline{\hspace{2em}}}\int_{\underline{\hspace{2em}}}^{\underline{\hspace{2em}}}f(x,y)d\underline{\hspace{2em}}d\underline{\hspace{2em}} + \int_{\underline{\hspace{2em}}}^{\underline{\hspace{2em}}}\int_{\underline{\hspace{2em}}}^{\underline{\hspace{2em}}}f(x,y)d\underline{\hspace{2em}}d\underline{\hspace{2em}} $$