Ontbinden in $\mathbb{R}$
Bij het ontbinden van een veelterm van de $n$-de graad ($n \in \mathbb{N}$) zal men vaak uitkomen bij een factor van de tweede of de vierde graad (met enkel termen in $x^4$, $x^2$ en $x^0$). Ook in dit geval kunnen verschillende moeilijkheidsgraden onderscheiden worden. Ter illustratie een aantal voorbeelden.
Voorbeelden
Voorbeeld 1 Ontbind de veelterm $x^4+4x^2-16$ zo ver mogelijk $\mathbb{R}$::
Antwoord
Door substitutie van $x^2 = t$ vinden we dat $t = -2+2\sqrt{5} \quad$ of $\quad t = -2-\sqrt{5}$; of dus $x=\pm \sqrt{-2+2\sqrt{5}}$ of $x=\pm \sqrt{-2-\sqrt{5}}$.
Voorbeeld 2 Ontbind de veelterm $x^4-13x^2+36$ zo ver mogelijk $\mathbb{R}$::
Antwoord
Voorbeeld 3 Ontbind de veelterm $x^4+x^2+1$ zo ver mogelijk in $\mathbb{R}$:
Antwoord
Hierbij merken we op dat de discriminant kleiner is dan nul. De ontbinding in $\mathbb{R}$ stopt dan ook meteen.
Bespreking
In voorbeeld 1 zit een extra moeilijkheid in het feit dat er wortels in de uitdrukkingen voorkomen. Eveneens wordt een wortel genomen van een negatief getal, waardoor we ons binnen de complexe getallen bevinden. De opgave kan eenvoudiger gehouden worden door te vermijden dat er wortels opduiken in één van de oplossingen, zoals in voorbeeld 2 te zien is. Het meest eenvoudige voorbeeld is te zien in voorbeeld 3: hier kan de veelterm niet verder ontbonden worden binnen de reële getallen.
Merk op dat het in deze situaties zeker niet noodzakelijk is om de vraag (namelijk het ontbinden in factoren) op te splitsen in deelvragen daar deze leerstof goed gekend verondersteld mag zijn (en eigenlijk vanzelfsprekend).