Kort voorbeeldexamen

Omdat de vragen doorheen deze website nog steeds gekoppeld zijn – de opgave van de volgende vraag bevat meestal het antwoord op de vorige vraag – hoewel de vragen atomair zijn, zetten we hieronder een voorbeeld van hoe een examen zou kunnen opgemaakt worden met atomaire vragen, zonder het antwoord te verklappen in de volgende vraag en toch nog steeds alle competenties te testen.

Oplossen van een vergelijking

Los de onderstaande vergelijking op in $\mathbb{C}$. $z^5-z^4+4z^3-4z^2+16z-16 = 0$.

Opgesplitsting in atomaire vragen

Deel 1 Welke van de volgende gehele getallen is een wortel van de vergelijking $3z^5-3z^4+4z^3-16z^2+16z-4 = 0$?

Deel 2 Gegeven is de complexe veelterm $2z^5-2z^4+3z^3-3z^2+z-1$. Stel dat je weet dat $z=1$ een wortel is van deze veelterm. Geef een lineaire factoren van deze veelterm.

$$ \text{lineaire factor} = \U5 $$

Deel 3 Gegeven is de veelterm $z^5 -z^4+4z^3-4z^2+16z-16$ en één van zijn lineaire factoren $z-1$. Vul het schema van Horner verder aan:

$$ \begin{array}{c|cccccc} & \underline{\hspace{2em}}& \underline{\hspace{2em}} & \underline{\hspace{2em}}&-4&16& \underline{\hspace{2em}} \\ \underline{\hspace{2em}} & \downarrow & 1&0& \underline{\hspace{2em}}& \underline{\hspace{2em}}&16 \\ \hline & 1& \underline{\hspace{2em}}& \underline{\hspace{2em}}&0& \underline{\hspace{2em}}& \underline{\hspace{2em}} \end{array} $$

Deel 4 Gegeven is de veelterm $z^5-2z^4+2z^3-4z^2+4z-8=0$ en het schema van Horner:

$$ \begin{array}{c|cccccc} & 1 & -2 & 2&-4&4&-8 \\ 2 & \downarrow & 2&0&4&0&8 \\ \hline & 1&0&2&0&4&0 \end{array} $$

Geef de ontbinden van de gegeven veelterm door de juist coëfficiënten in te vullen:

$$ z^5-z^4+4z^3-4z^2+16z-16 = (z+\underline{\hspace{2em}})(\underline{\hspace{2em}}z^4 + \underline{\hspace{2em}}z^3 + \underline{\hspace{2em}}z^2 + \underline{\hspace{2em}}z + \underline{\hspace{2em}}) $$

Deel 5 Voer in de veelterm $4z^4-8z^2+16$ de substitutie $z^2 = t$ door. Wat wordt de gegeven vergelijking dan?

$$ 4z^4-8z^2+16 \stackrel{\text{substitutie } z^2 = t}{=} \underline{\hspace{8em}} $$

Deel 6 Los de vierkantsvergelijking $t^2+4t+16=0$ op (vul aan):

$$ \text{Discriminant }D = \U5 $$
$$ t_1 = \U5 \quad \text{en} \quad t_2 = \U5 $$

Hieruit volgt dat

$$ z^4+4z^2+16 = (z^2 - \U5)(z^2 - \U5) $$

Deel 7 Stel dat $z^2 = -4 + 5\sqrt{3}i$. Dan is $z^2$ te schrijven in de goniometrische vorm $r(\cos \phi + i \sin \phi)$. Bepaal $r$ en $\phi$.

$$ r = \U5 \quad \text{en} \quad \phi = \U5 $$

Deel 8 De goniometrische vorm van $z^2$ wordt gegeven door $5\left(\cos \frac{2\pi}{3} + i\sin \frac{2\pi}{3}\right)$. Bepaal dan de vierkantswortels $z_1$ en $z_2$ van $z^2$ (Hint: formule van De Moivre).

$$ z_1 = \U5 \left(\cos\U5 + i\sin\U5 \right) = \U5 +\U5i $$

en

$$ z_2 = \U5 \left(\cos\U5 + i\sin\U5 \right) = \U5 + \U5i $$

Deel 9 Als je weet dat de wortels van $-2+2\sqrt{3}i$ gegeven worden door $1+\sqrt{3}i$ en $-1-\sqrt{3}i$, wat zullen dan de wortels $z_1$ en $z_2$ zijn van $-2-2\sqrt{3}i$?

$$ z_1 = \U5\text{ en } z_2 = \U5 $$

Oplossing

Deel 1 $z=1$ is een wortel van de vergelijking.

Deel 2 Een lineaire factor is $z-1$

Deel 3 Het schema van Horner ziet er als volgt uit:

$$ \begin{array}{c|cccccc} &1&-1&4&-4&16&-16\\ 1&\downarrow &1&0&4&0&16\\ \hline &1&0&4&0&16&0 \end{array} $$

Deel 4 Ontbinding van de veelterm: $z^5-z^4+4z^3-4z^2+16z -16 = (z+(-2))(z^4+2z^2+4)$

Deel 5 De vergelijking wordt $4z^4-8z^2+16 = 4t^2-8t+16$

Deel 6 $D = -48$, $t_{1,2} = -2\pm2\sqrt{3}i$

Deel 7 $r= \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{16+75} = \sqrt{91}$

$$ \phi = tan^{-1}\left(\frac{-5\sqrt{3}}{4}\right) $$

Deel 8 $z_1 = -\sqrt{5}\left(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right) = -\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{15}}{2}$

$$ z_2 = \sqrt{5}\left(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right) = \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{15}}{2} $$

Deel 9 $z_1 = -1+\sqrt{3}i$ $z_2 = 1-\sqrt{3}i$

Ondervraagde competenties

Diagonaliseren van een matrix

Bepaal de eigenvectoren van een gegeven matrix $A$.

Opsplitsing in atomaire vragen

Deel 1 Stel dat $\lambda = 1$ een eigenwaarde is van de matrix $A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 2\\ -1 & 4 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \\ \end{pmatrix}$.

Welk stelsel moet opgelost worden om de eigenvectoren van A te vinden horende bij deze eigenwaarde?

$$ \begin{pmatrix}\dots & -1 & \dots \\ -1 & \dots & -1 \\ \dots & -1 & \dots \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dots \\ \dots \\ \dots \end{pmatrix} $$

Deel 2 Gegeven is het stelsel $\begin{pmatrix}1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y\\ z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$. Gebruik de methode van Gauss-Jordan om deze matrix terug te brengen tot de echelonvorm.

$$ \begin{pmatrix}1 & -1 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 0 \\ \dots & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \dots & \dots & 0 \end{pmatrix} $$

Deel 3 Gegeven is de echelonvorm van een matrix: $\begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$. Geef de oplossing van dit stelsel. $\begin{pmatrix}x\\y\\z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dots \\ \dots \\ \dots \end{pmatrix}$. Hierbij zijn $\underline{\hspace{2em}}$ veranderlijken vrij te kiezen (vul een aantal in).

Deel 4 Als de oplossing van een stelsel gegeven wordt door $\begin{pmatrix}x\\y\\z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2y-5z\\y\\z \end{pmatrix}$, bepaal dan de eigenvectoren van deze matrix door aan te vullen:

$$ \begin{pmatrix}2y-5z\\y\\z \end{pmatrix} = y\begin{pmatrix}\dots\\\dots\\\dots \end{pmatrix} + z\begin{pmatrix}\dots\\\dots\\\dots \end{pmatrix} $$

Oplossing

Deel 1 Op te lossen stelsel $\begin{pmatrix}2&-1&2\\-1&3&-1\\2&-1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\y\\z\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0\\0\\0\end{pmatrix}$

Deel 2 $\begin{pmatrix}1 & -1 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

Deel 3 $\begin{pmatrix}x\\y\\z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2}y-\frac{3}{2}z\\ y \\ z \end{pmatrix}$. Hier zijn dus 2 veranderlijken vrij te kiezen.

Deel 4 $\begin{pmatrix}2y-5z\\y\\z \end{pmatrix} = y\begin{pmatrix}2\\1\\0 \end{pmatrix} + z\begin{pmatrix}-5\\0\\1 \end{pmatrix}$

Ondervraagde competenties

Oplossen van een integraal

Oorspronkelijke vraag Bereken de integraal $\int\frac{9^x}{1-3^x}\d x$

Oplossing

Herschrijven van de integraal:

$$ \int\frac{9^x}{1-3^x}\d x = \int\frac{3^{2x}}{1-3^x}\d x $$

Stel $2x=u$. Dan is $dx = \frac{1}{2}\d u$ en dus $\int\frac{3^{2x}}{1-3^x}\d x = \frac{1}{2}\int\frac{3^u}{1-\sqrt{3^u}}$

Stel $3^u = z$. Dan is $3^u\d u = \frac{1}{\ln(3)}\d z$ en dus $\frac{1}{2}\int\frac{3^u}{1-\sqrt{3^u}} = \frac{1}{2\ln(3)}\int\frac{\d z}{1-\sqrt{z}}$

Stel $\sqrt{z} = v$. Dan is $dz = 2v\d v$ en dus $\frac{1}{2\ln(3)}\int\frac{\d z}{1-\sqrt{z}} = \frac{1}{2\ln(3)}\int\frac{2v\d v}{1-v}$

We zorgen dat de veranderdelijke terug de oorspronkelijke $x$ is dus dan krijgen we

$\frac{1}{2\ln(3)}\int\frac{2v\d v}{1-v} = \frac{-\ln(1-3^x)-3^x}{\ln(3)}$ en dus we vinden dat

$$ \int\frac{9^x}{1-3^x}\d x = \frac{-\ln(1-3^x)-3^x}{\ln(3)} $$

Opsplitsing in atomaire vragen

Een eerste moeilijkheid bij het opsplitsen in atomaire vragen is de eerste stap: hoe vraag je om de teller van de breuk ($9^x$) te herschrijven tot een bruikbare vorm zonder het antwoord te “verklappen”? De eerste stap bij deze integraal lijkt een belangrijke stap die moeilijk via een atomaire vraag te bevragen valt.

Een mogelijkheid zou kunnen zijn om de vragen naar de allereerste stap bij het oplossen van deze integraal, maar niet verder te gaan. De berekening van de integraal kan eventueel gevraagd worden vanaf stap 2, dus vanaf $\int\frac{3^{2x}}{1-3^x}\d x$.

Vraag 1 Welke integratiemethode kan je toepassen om de integraal $\int\frac{3^{2x}}{1-3^x}\d x$ op te lossen?

Vraag 2 Bepaal de afgeleide van $3^u$.

Vraag 3 Stel dat voor het bepalen van de integraal $\int\frac{2-5^x}{5^{3x}+1}\d x$ de substitutie $z = 3x$ wordt toegepast, hoe ziet het integrandum na substitutie er dan uit (vul in)?

$$ \int\frac{2-5^x}{5^{3x}+1} = \int\frac{.....}{.....}\d z $$

Vraag 4 Gegeven is de integraal $\int\frac{\d z}{1-\sqrt{z}}$ en de substitutie $\sqrt{z} = t$. Voer deze substitutie door in de gegeven integraal (de variabele $z$ mag niet meer voorkomen in het integrandum).

$$ \int\frac{\d z}{1-\sqrt{z}} = \int...........\d t $$

Vraag 5a Reken de volgende integraal uit: $\frac{1}{\ln3}\int\left(\frac{1}{1-x}-1\right)\d x = ..........$

Vraag 5b Reken de volgende integraal uit: $\int\frac{t}{1-t}\d t$.

Oplossing

Vraag 1 Substitutie van $z= 2x$

Vraag 2 De afgeleide van $3^u = 3^u\ln(3)$

Vraag 3 $\int\frac{2-5^x}{5^{3x}+1} = \int\frac{2-5^{\frac{z}{3}}}{5^z+1}\d z$

Vraag 4 Als $\sqrt{z}=t$, dan is $\frac{1}{2\sqrt{z}\d z = \d t}$ of dus $\d z = 2t \d t$. Substitutie doorvoeren geeft dan $\int\frac{\d z}{1-\sqrt{z}} = \int\frac{2t}{1-t}\d t$

Vraag 5a $\frac{1}{\ln3}\int\left(\frac{1}{1-x}-1\right)\d x = \frac{1}{\ln3}(-\ln(1-x)-x)$

Vraag 5b Het integrandum van de integraal $\int\frac{t}{1-t}\d t$ kan geschreven worden als $\frac{1}{1-t}-1$. Dit brengt de opgave terug tot Vraag 5a. Het integrandum kan hier eenvoudig herschreven worden door het de Euclidische deling uit te voeren. Dit maakt het integrandum ook een stuk eenvoudiger.

Ondervraagde competenties