Horizontale Asymptoten

Voorbeelden

Voorbeeld 1: Bereken de Horizontale Asymptoot van $-\infty$ aan $f(x) = \frac{x(x-1)(x+3)}{x^2-3}$.

Opsplitsing in atomaire vragen

Gegeven is $f(x) = \frac{x(x-1)(x+3)}{x^2-3}$. Werk de teller uit.

$$ x(x-1)(x+3) = \underline{\hspace{1em}}x^3 + \underline{\hspace{1em}}x^2 + \underline{\hspace{1em}}x + \underline{\hspace{1em}}x^0 $$

Antwoord

$$ x(x-1)(x+3) = x^3 + 2x^2 + (-3)x + 0x^0 $$

Bepaal de limiet van $f(x) = \frac{x^3 + 2x^2 -3x}{x^2-3}$ voor $x\to -\infty$.

$$ \lim_{x\to-\infty} f(x) = \lim_{x\to-\infty} \frac{\dots}{\dots} = \underline{\hspace{2em}} $$

Antwoord

$$ \lim_{x\to-\infty} f(x) = \lim_{x\to-\infty} \frac{x^3}{x^2} = -\infty $$

Bespreking

In dit eerste voorbeeld is de limiet van de functie $-\infty$, wat betekent dat er geen horizontale asymptoot is. De berekening van de limiet is in de voorbeeld vrij eenvoudig. Hierdoor is het zelfs niet echt nodig om de vraag op te splitsen in deelvragen. De vraag zou evengoed rechtstreeks kunnen gesteld worden:

Bepaal de horizontale asymptoot van $f(x) = \frac{x^3 + 2x^2 -3x}{x^2-3}$ voor $x\to -\infty$.

$y = 1$
$y = 2$
$y = 3$
Er is geen HA want $\lim_{x\to-\infty} = +\infty$
- Er is geen HA want $\lim_{x\to-\infty} = -\infty$

Bepaal de vergelijking van de horizontale asymptoot van $f(x) = \frac{x^3 + 2x^2 -3x}{x^2-3}$ voor $x\to -\infty$ of geen aan indien deze niet bestaat.

$$ y = \underline{\hspace{2em}} \qquad \qquad f(x) \text{ heeft geen HA} $$

Merk op dat limieten van veeltermfuncties of rationale functies de opgave eenvoudiger houden dan wanneer limieten van irrationale of goniometrische functies berekend moeten worden.