Limieten van Functies

Limieten van

Bespreking

Voorbeeldvragen berekenen van limieten

Veeltermfuncties

Voorbeeld 1

$$ \lim_{x\to +\infty} (x^3-5x^2+1) = \underline{\hspace{4em}} $$

Antwoord De limiet van een veeltermfunctie voor $x \to \pm \infty$ is gelijk aan de limiet van de term met de hoogste graad. In dit geval betekent dit dat de limiet zich herleidt tot

$\lim_{x\to +\infty} x^3 = +\infty$.

Merk op dat ook de limiet voor $x \to -\infty$ gevraag kon zijn. In dat geval werd de limiet:

$\lim_{x\to -\infty} x^3 = -\infty$.

Voorbeeld 2

$$ \lim_{x\to 3}(x^2-5x+2) = \underline{\hspace{4em}} $$

Antwoord De limiet van een veeltermfunctie $f$ voor $x\to a$ is gelijk aan $f(a)$. In dit geval betekent dit:

$\lim_{x\to 3} (x^2-5x+2) =3^2-5\cdot3+2 = -4$.

Rationale Functies

Voorbeeld 1 $\lim_{x \to 2}\frac{x+1}{x^2-4} = \underline{\hspace{4em}}$

Antwoord Als we $x$ naar 2 laten gaan, zal de noemer van de rationale functie naar 0 gaan, de teller niet. We weten dus dat $f(x)$ oneindig groot zal worden in positieve of in negatieve zin, afhankelijk van het teken van $f(x)$ rond $a$. Om de linker- en rechterlimiet van $f(x)$ in de omgeving van $x=2$ te kunnen bepalen, zal een tekentabel van $f(x)$ in de omgeving van $a$ moeten opgesteld worden.

Een mogelijke opsplitsing voor deze vraag zou kunnen zijn

Deel 1 Gegeven is de functie $f(x)=\frac{x+1}{x^2-4}$. Vul het onderstaande tekenschema verder aan.

$$ \begin{array}{c|ccc} x& & 2 & \\ \hline f(x) & \underline{\hspace{2em}} & \underline{\hspace{2em}} & \underline{\hspace{2em}}\\ \end{array} $$

Deel 2 Bepaal aan de hand van het onderstaande tekenschema van de functie $f$ de volgende limieten:

$$ \begin{array}{c|ccccccccc} x & & -3& &-1&&1&&6& \\ \hline f(x)&+&0-&|+&0&-&|+ \end{array} $$
$$ \lim_{x \stackrel{\to}{<} -1} f(x) = \underline{\hspace{2em}} $$
$$ \lim_{x \stackrel{\to}{>} 6} f(x) = \underline{\hspace{2em}} $$

Antwoord

$$ \lim_{x \stackrel{\to}{<} -1} f(x) = -\infty $$
$$ \lim_{x \stackrel{\to}{>} 6} f(x) = +\infty $$

Voorbeeld 2 Bepaal $\lim_{x \to +\infty}\frac{2x^2-3x+2}{x+2} = \underline{\hspace{4em}}$

Antwoord De limiet van een rationale functie voor $x\to \pm \infty$ is gelijk aan de limiet van het quotiënt van de termen met de hoogste graad in teller en noemer. Dit betekent hier dus:

$$ \lim_{x \to +\infty}\frac{2x^2-3x+2}{x+2} = \lim_{x \to +\infty}\frac{2x^2}{x} = \lim_{x \to +\infty} 2x = +\infty $$

Merk op dat ook hier de limiet voor $x \to -\infty$ gevraagd kon worden. In dat geval was de limiet $-\infty$ geweest.

Regel van de l’Hopital

In het geval dat voor twee functie $f$ en $g$ en een getal $a$ geldt dat

$\lim_{x \to a}f(x) = \lim_{x \to a}g(x) = 0$, dan geldt dat

$$ \lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a}\frac{f'(x)}{g'(x)} $$

Voorbeeld Bepaal de volgende limiet: $\lim_{x \to 0} \left(\frac{1}{\ln(1+x)} - \frac{1}{x}\right)$

Bij deze limiet is ht probleem dat bij beide termen gedeeld wordt door 0. Een manier om dit op te lossen, is door de uitdrukking als één breuk te schrijven (dus beide breuken op gelijke noemer zetten) en dan verder te werken met de regel van de l’Hopital om tot een bepaalde limiet te komen. Er zijn een aantal belangrijke stappen in het oplossen van deze vraag, dus we zullen de vraag opsplitsen in meerdere deelvragen.

Deel 1 Zet de uitdrukking $\frac{1}{\ln(1+x)} - \frac{1}{x}$ op gelijke noemer.

$$ \frac{1}{\ln(1+x)} - \frac{1}{x} = \underline{\hspace{8em}} $$

Antwoord

$$ \frac{1}{\ln(1+x)} - \frac{1}{x} = \frac{x-\ln(1+x)}{x\ln(1+x)} $$

Deel 2 De limiet $\lim_{x \to 0}\frac{x-\ln(1+x)}{x\ln(1+x)} =$

Antwoord Het goede antwoord hier is het derde antwoord: $\frac{0}{0}$.

Deel 3 Pas de regel van de l’Hopital toe op de volgende uitdrukking

$$ \lim_{x \to 0}\frac{x-\ln(1+x)}{x\ln(1+x)} \stackrel{H}{=} \frac{\underline{\hspace{4em}}-\underline{\hspace{4em}}}{\underline{\hspace{4em}}+\underline{\hspace{4em}}} $$

Antwoord Bij de regel van de l’Hopital komt het erop neer om zowel teller als noemer af te leiden naar $x$:

$$ \lim_{x \to 0}\frac{x-\ln(1+x)}{x\ln(1+x)} \stackrel{H}{=} \frac{1-\frac{1}{1+x}}{\ln(1+x)+\frac{x}{1+x}} $$

Deel 4 Bepaal de volgende afgeleide naar $x$:

$$ \frac{d}{\d x}\left(\ln(1+x) + \frac{x}{1+x}\right) = \frac{\underline{\hspace{4em}}}{1+x} + \frac{\underline{\hspace{4em}}}{(1+x)^2} $$

Merk op dat hier geen deel van de oplossing moet gegeven worden. Door de vorm te geven waarin het antwoord wordt verwacht, kan de oefening sneller verbeterd worden of beter geïmplementeerd worden in een computerprogramma. Wanneer het antwoord door de student zelf volledig moet worden ingevuld, kan dit van vorm variëren.

Antwoord

$$ \frac{d}{\d x}\left(\ln(1+x) + \frac{x}{1+x}\right) = \frac{2}{1+x} + \frac{-x}{(1+x)^2} $$

Deel 5 Bepaal de volgende limiet $\lim_{x \to 0}\frac{\frac{1}{(1+x)^2}}{\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+x} - \frac{x}{(1+x)^2}} = \underline{\hspace{2em}}$

Antwoord Laten we $x\to 0$ gaan, dan vinden we

$$ \lim_{x \to 0}\frac{\frac{1}{(1+x)^2}}{\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+x} - \frac{x}{(1+x)^2}} = \frac{\frac{1}{1^2}}{1+1+0} = \frac{1}{2} $$