Schuine Asymptoten

Terug

Een schuine asymptoot is van de vorm $y = mx+q$. Bij het bepalen van een schuine asymptoot komt het erop neem om zowel $m$ als $q$ te bepalen.

Voorbeelden

Voorbeeld 1: Bereken de Schuine Asymptoot van $-\infty$ aan $f(x) = \frac{x(x-1)(x+3)}{x^2-3}$.

Opsplitsing in atomaire vragen

Gegeven is de functie $f(x)$ met schuine asymptoot $y = mx+q$. Met welke limiet kan $m$ berekend worden?

$$ m = \lim_{ \underline{\hspace{2em}}} \underline{\hspace{3em}} $$

Antwoord

$$ m = \lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x} $$

Merk op dat dit een eerder theoretische vraag is. [Op het examen van Wiskunde voor bedrijfskundigen I-A in 2016–2017 werd deze vraag gesteld, samen met het bewijs.]

Bepaal $\frac{f(x)}{x}$ als je weet dat $f(x) = \frac{x(x-1)(x+3)}{x^2-3}$.

$f(x) = \frac{(x-1)(x+3)}{(x^2-3x)}$
$f(x) = \frac{(x-1)(x+3)}{(x-3)(x+3)}$
$f(x) = \frac{(x-1)}{(x-3)}$
$f(x) = \frac{x^3+2x^2-3x}{x^3-3}$
$f(x) = \frac{(x-1)(x+3)}{(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})}$

Antwoord De vijfde optie is de juiste.

Opmerking Deze vraag kan evengoed als meerkeuze gesteld worden (waarbij op voorhand duidelijk kan aangegeven worden dat de teller en de noemer enkel lineaire factoren mogen bevatten). Deze vraag leent zich er echter toe om als meerkeuzevraag gesteld te worden: bij het ontbinden van $x^2-3$ zou men al snel kunnen schrijven dat gelijk is aan $(x-3)(x+3)$.

Stel dat $\frac{f(x)}{x} = \frac{(x-1)(x+3)}{x^2-3}$. Wat is dan de limiet van $\frac{f(x)}{x}$ voor $x\to-\infty$? Zorg dat er geen breuken meer in je antwoord voorkomen.

$$ \lim_{x\to-\infty} = \underline{\hspace{3em}} $$

Antwoord

$$ \lim_{x\to-\infty} = \frac{x^2}{x^2} = 1 $$

Opmerking Maak de oefening eenvoudiger door teller en noemer al volledig uitgewerkt te schrijven: $\frac{x^3+2x^2-3x}{x^3-3x}$.

Gegeven is de functie $f(x)$ met schuine asymptoot $y = mx+q$. Met welke limiet kan $q$ berekend worden?

Antwoord

$$ q = \lim_{x\to\pm\infty}\left[f(x)-mx\right] $$

Merk op dat dit opnieuw een theoretische vraag is; deze hoeft misschien niet gevraagd te worden bij oefeningen.

Stel dat $f(x) =\frac{x(x-1)(x+3)}{x^2-3}$ en $m=1$. Waaraan is dan $f(x)-mx$ gelijk? (Werk zo ver mogelijk uit.)

$$ f(x)-mx = \frac{\underline{\hspace{3em}}}{\underline{\hspace{3em}}} $$

Antwoord

$$ f(x)-mx = \frac{2x^2}{x^2-3} $$

Stel dat $g(x) = \frac{2x^2}{x^2-3}$. Bepaal de limiet van $g(x)$ voor $x\to -\infty$.

$$ \lim_{x\to-\infty}g(x) = \underline{\hspace{3em}} $$

Antwoord

$$ \lim_{x\to-\infty}g(x) = \frac{2x^2}{x^2} = 2 $$

Merk op dat het ook hier gaat over een eenvoudige limiet.