Convergentie van reeksen

Voorbeeld 1

Voor welke waarden van $x$ convergeert

$$ \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{x-3}{n!}\right) $$

Deze machtreeks is een functie van $x$. Dit betekent dat de convergentie of divergentie van de rij kan afhangen van de waarde van $x$.

Er zijn minstens twee methoden om de convergentie na te gaan:


Deel a Gegeven is de reeks $\sum_{n=1}^n u_n$. Als het kenmerk van d’Alembert wordt gebruikt om de convergentie van deze reeks te onderzoeken, welke limiet moet je dan berekenen?

$$ \lim_{\underline{\hspace{3em}}}|\U5| $$

Antwoord

$$ \lim_{n \to \infty}|\frac{u_{n+1}}{u_n}| = L $$

Merk op dat er drie mogelijkheden zijn voor $L$:


Deel b Gegeven is de reeks

$$ \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{x-3}{n!}\right) $$

van de vorm $\sum_{n=1}^{\infty}u_n$.

Bepaal $ \frac{u_{n+1}}{u_n} $. Vereenvoudig de gevonden uitdrukking zo ver mogelijk.
$$ |\frac{u_{n+1}}{u_n}| = |\U5| $$

Antwoord

$$ \frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{\frac{x-3}{(n+1)!}}{\frac{n!}{x-3}} = \frac{1}{n+1} $$.

Deel c Bepaal de volgende limiet

$$ \lim_{n \to \infty}|\frac{1}{n+1}| = \U5 $$

Antwoord

$$ \lim_{n \to \infty}|\frac{1}{n+1}| = 0 $$

Deel d Van een bepaalde reeks weten we via het kenmerk van d’Alembert dat

$$\lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = 0$$.

Volgens het kenmerk van d’Alembert weten we nu dat de rij $u_n$ convergeert/divergeert want 0 is kleiner dan/groter dan \U5 (vul een getal in).

Besluit: de machtreeks convergeert/divergeert op het interval \U5 en de convergentiestraal is R = \U5.

Antwoord

Volgens het kenmerk van d’Alembert weten we nu dat de rij $u_n$ convergeert want 0 is kleiner dan 1.

Besluit: de machtreeks convergeert op het interval R (de reële getallen) en de convergentiestraal is R = R (Met R hier gelijk aan $\mathbb{R}$).

Bespreking

Dit is een eenvoudig voorbeeld omdat hier na het berekenen van de limiet meteen duidelijk is dat er geen $x$ meer voorkomt in de uitdrukking. Dit betekent dat de rij convergeert voor alle $x$.

Hieronder volgt een voorbeeld waarbij de machtreeks wel zal convergeren op een begrensd interval.

Voorbeeld 2

Voor welke waarden van $x$ convergeert

$$ \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{3^n}{\sqrt{n}}(2x-1)^n\right) $$

Deel a


Voorbeeld 2

Oorspronkelijke vraag Onderzoek de convergentie van de reeksen $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(x+2)^k}{2^k\sqrt{k+1}}$.

Deel 1 Eerst zal de convergentie van de rij $\frac{1}{2^k\sqrt{k+1}}$ onderzocht worden – zie Convergentie van rijen.

Deel 2 Als $u:=x+2$ en $\lim_{k=1}^{\infty}\frac{a_{k+1}}{a_k}$, welke ongelijkheid moet je dan oplossen om de absolute convergentie van de reeks na te gaan?

Oplossing $x+2<2$.

Deel 3 Werk in de ongelijkheid $ x+2 <2$ de absolutewaardetekens weg.

Oplossing

$$ \begin{align} \phantom{\Leftrightarrow } & |x+2|<2 \\ \Leftrightarrow & -2 < x+2< 2 \\ \Leftrightarrow & -4 < x <0 \end{align} $$

Deel 4 Een gegeven reeks is divergent als $x+2>2$. Voor welke $x$-waarden is dit zo?

Oplossing Dit is zo voor $x < -4$ en voor $x>0$.

Deel 5 Gegeven is de reeks $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(x+2)^k}{2^k\sqrt{k+1}}$. Herschrijf de uitdrukking wanneer we $x=0$ stellen. Vereenvoudig zo ver mogelijk.

Oplossing

$$ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{2^k}{2^k\sqrt{k+1}} =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{k+1}} $$

Deel 6 De $p$-reeks met $p=1/2$ …. (vul in).

Oplossing De $p$-reeks met $p=1/2$ divergeert want $p<1$.

Deel 7 Gegeven is de reeks $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{k+1}}$. Om de convergentie van deze reeks na te gaan, maken we gebruik van de limietvergelijkingstest, waarbij we vergelijken met $\frac{1}{k^{\frac{1}{2}}}$. De limiet van welke uitdrukking moet dan bepaald worden?

Oplossing

$$ \lim_{k \to \infty}\frac{\frac{1}{(k+1)^{1/2}}}{\frac{1}{k^{1/2}}} $$

Deel 8 Bepaal de volgende limiet:

$$ \lim_{k \to \infty}\frac{\frac{1}{(k+1)^{1/2}}}{\frac{1}{k^{1/2}}} = ... $$

Oplossing

$$ \lim_{k \to \infty}\frac{\frac{1}{(k+1)^{1/2}}}{\frac{1}{k^{1/2}}} = \lim_{k \to \infty}\frac{k^{1/2}}{(k+1)^{1/2}} = \sqrt{\lim_{k \to \infty}\frac{k}{k+1}} = 1 $$

Deel 9 Gegeven is de reeks $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(x+2)^k}{2^k\sqrt{k+1}}$. Herschrijf de uitdrukking wanneer we $x=-4$ stellen. Vereenvoudig zo ver mogelijk.

Oplossing

$$ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-2)^k}{2^k\sqrt{k+1}} = \sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^k}{\sqrt{k+1}} $$

Deel 10 Gebruik de alternerende reekstest om na te gaan of de reeks $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^k}{\sqrt{k+1}}$ convergeert.

  1. $a_{k+1} < a_k$? (Vul de concrete waarde voor $a_k$ en $a_{k+1}$ en beoordeel dan of de ongelijkheid al dan niet waar is.) [Hier ontbreken nog absolute waarden]

$\underline{\hspace{4em}} < \underline{\hspace{4em}}$ Deze ongelijkheid is

  1. Vul aan: $\lim_{k \to \infty}\frac{1}{\sqrt{k}} = ...$

Oplossing

  1. $\frac{1}{\sqrt{k+1}} < \frac{1}{\sqrt{k}}$, dit volgt uit:
$$ \begin{align} k+1 &< k \\ \sqrt{k+1} &> \sqrt{k} \\ \frac{1}{\sqrt{k+1}} &< \frac{1}{\sqrt{k}} \end{align} $$

De ongelijkheid is dus waar.

Merk op dat bij de laatste stap het ongelijkheidsteken omkeert. Het kan een veel gemaakte fout bij studenten zijn om dit te vergeten.

  1. $$ \lim_{k \to \infty}\frac{1}{\sqrt{k}} = 0 $$

Merk op dat deze vraag veronderstelt dat studenten bij het oplossen van de oefeningen gebruik mogen maken van de theoriecursus aangezien de voorwaarden die moeten nagegeaan worden voor de alternerende reekstest gegeven worden.

Opmerking Een iets moeilijker voorbeeld waarbij de convergentie van een rij besproken moeten worden, is te vinden onder voorbeeld 2 bij Convergentie van rijen.


Voorbeeld 2

Oorspronkelijke vraag Bespreek de convergentie van de reeks $\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{(x+2)^n}{\sqrt[3]{n^2-1}\cdot5^{n-2}}$.

Deel 1 Een eerste stap bij het oplossen van deze vraag zal opnieuw zijn om de convergentiestraal te bepalen en de limiet van $a_n = \frac{1}{\sqrt[3]{n^2-1}\cdot5^{n-2}}$ te bepalen. Dit wordt besproken in Voorbeeld 2 bij Convergentie van rijen.

Opmerking Vooraleer verder te gaan, merken we op dat het stramien van deze vraag zeer gelijkaardig is aan degene hierboven (en test dus ook min of meer dezelfde competenties).

Deel 2 Stel $x=7$ in $\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{(x+2)^n}{\sqrt[3]{n^2-1}\cdot5^{n-2}}$ en geef de uitdrukking die hier dan komt te staan zo eenvoudig mogelijk.

$$ \sum_{n=2}^{+\infty}\frac{(x+2)^n}{\sqrt[3]{n^2-1}\cdot5^{n-2}} = ...\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{...} $$

Oplossing

$$ \sum_{n=2}^{+\infty}\frac{(x+2)^n}{\sqrt[3]{n^2-1}\cdot5^{n-2}} = 25\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{(n^2-1)^{\frac{1}{3}}} $$

Deel 3 Vul telkes het juiste ongelijkheidsteken in.

$n^2 ... n^2-1$ $n^{\frac{2}{3}} ... (n^2-1)^{\frac{1}{3}}$ $\frac{1}{n^{\frac{2}{3}}} ... \frac{1}{(n^2-1)^{\frac{1}{3}}}$ $\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{2}{3}}} ... \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{(n^2-1)^{\frac{1}{3}}}$

Oplossing

$n^2 > n^2-1$ $n^{\frac{2}{3}} > (n^2-1)^{\frac{1}{3}}$ $\frac{1}{n^{\frac{2}{3}}} < \frac{1}{(n^2-1)^{\frac{1}{3}}}$ $\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{2}{3}}} < \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{(n^2-1)^{\frac{1}{3}}}$

Bespreking

Bij beide voorbeelden was de eerst stap in de oefening, namelijk het bepalen van de limiet van de gegeven rij niet moeilijk aangezien we te maken hadden met de limiet van een rationele functie. Enkel de hoogstegraadstermen in teller en noemer waren nodig. Een moeilijker geval kan bijvoorbeeld gevraagd worden met het volgende voorbeeld:

$\lim_{n \to \infty}5\frac{\ln n}{\ln (n+1)}$.

Er is waarschijnlijk ook een grote variëteit aan vragen mogelijk waarbij ook andere tests voor convergentie gebruikt moeten worden.