Convergentie van rijen

Voorbeeld 1 Onderzoek de convergentie van de rij $a_n = \frac{1}{2^k\sqrt{k+2}}$.

Vraag 1 Om de convergentie te onderzoeken, moeten we de limiet van $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ bepalen. Schrijf neer waaraan $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ precies gelijk is (probeer zo ver mogelijk uit te werken).

$$ \frac{a_{n+1}}{a_n} = ... $$

Antwoord

$$ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1}{2^k\sqrt{k+1}}\frac{2^{k+1}\sqrt{k+2}}{1} = 2\frac{\sqrt{k+2}}{\sqrt{k+1}} $$

Vraag 2 Bepaal de limiet van $2\frac{\sqrt{k+2}}{\sqrt{k+1}}$ voor $k \to +\infty$.

$$ \lim_{k \to \infty}2\frac{\sqrt{k+2}}{\sqrt{k+1}} = ... $$

Antwoord

$$ \lim_{k \to \infty}2\frac{\sqrt{k+2}}{\sqrt{k+1}} = 2\lim_{k \to \infty}\frac{\sqrt{k+2}}{\sqrt{k+1}} = 2\sqrt{\lim_{k \to \infty}\frac{k+2}{k+1}} = 2 $$

Voorbeeld 2 Onderzoek de convergentie van de rij

$$ a_k = \frac{1}{\sqrt[3]{n^2-1}5^{n-1}} $$

Bij deze vraag kunnen opnieuw dezelfde vragen gesteld worden als hierboven.

We zullen vinden dat

$$ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\sqrt[3]{n^2-1}5^{n-2}}{\sqrt[3]{(n+1)^2-1}5^{n-1}} $$

Daaruit volgt dan dat

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[3]{n^2-1}5^{n-2}}{\sqrt[3]{(n+1)^2-1}5^{n-1}} = \frac{1}{5}\sqrt[3]{\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2-1}{n^2-1}} = \frac{1}{5}\sqrt[3]{\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2}}=\frac{1}{5} $$

Merk op dat het berekenen van de limiet hier mogelijks iets moeilijker is dan in de vorige opgave. De regels voor het rekenen met wortels moeten hier goed gekedn zijn.

Deze opgaven zijn een eerste stap in de richting van het onderzoek van de convergentie van reeksen.