Voorbeeld Partiële Integratie

Terug

Het eerste voorbeeld hieronder is een voorbeeld met “eenvoudige” partiële integratie. In het tweede voorbeeld met het principe van partiële integratie meerdere keren herhaald worden om tot een oplossing te komen.

Voorbeeld 1

Vraag Bereken \intx^3e^{-x}\d x$.

  1. Gegeven is de integraal \int x\cos x\d x. Welke integratietechniek zal je toepassen om deze integraal op te lossen?

Oplossing

Partiële integratie is hier de aangewezen techniek.

  1. Stel dat we partiële integratie toepassen voor het berekenen van $\int x\cos x\d x$ en dat de algemene uitdrukking waarop die partiële integratie wordt toegepast, gegeven wordt door $\int f(x)g’(x)$. Hoe kies je in dit geval dan $f(x)$ en $g’(x)$?
$$ f(x) = \U5 \qquad \text{en} \qquad g'(x) = \U5 $$

Oplossing

$$ f(x) = x \qquad \text{en} \qquad g'(x) = \cos x $$
  1. Als $f(x) = \cos x$ en $g’(x) = x^2$, hoe kunnen we $\int f(x)g’(x)\d x$ dan herschrijven als we partiële integratie toepassen?
$$ \int\cos x x^2\d x = \U5 - \int \U5\d x $$

Oplossing

$$ \int\cos x x^2\d x = \frac{x^3}{3}\cos x - \int -\sin x \frac{x^3}{3}\d x $$

Merk op dat een eventuele extra vraag zou kunnen zijn om de afgeleide van $f(x)$ en de integraal van $g’(x)$ te bepalen. Nu is dit geïntegreerd in de oefening, maar wordt er niet expliciet naar gevraagd.

  1. Wat is de integraal van $\sin x$?
$$ \int \sin x \d x = \U5 $$

Oplossing

$$ \int \sin x \d x = -\cos x \d x $$

Merk op dat er verwarring kan zijn bij het toestandsteken van $\cos’(x)$ en $\int \cos x \d x$.

Voorbeeld 2

Vraag Bereken $\int e^x \cos x\d x$.

Bij deze opgave kunnen dezelfde vragen gesteld worden als in het eerste voorbeeld. Het verschil is dat na de eerste keer toepassen van partiële integratie dezelfde techniek nogmaals moet toegepast worden om tot een resultaat te komen. Uitendelijk zal de oplossing te vinden zijn uit de vergelijking die bekomen werd na twee keer de partiële integratie toe te passen: $2\int e^x \cos x \d x = e^x(\sin x + \cos x)$.

De vraag is hier of dergelijke vraag op te splitsen is in atomaire deelvragen zonder te verklappen dat partiële integratie tweemaal moet worden toegepast. Dit lijkt eerder een competentie die moet blijken uit het volledig oplossen van de vraag dan uit het oplossen van de atomaire vragen. Op het eerste zicht lijkt het dus beter om zo’n vraag in zijn geheel te laten en niet op te delen in atomaire vragen.

Andere Voorbeelden

Hieronder staan een aantal andere voorbeelden van oefeningen waarbij partiële integratie gebruikt wordt om de integralen te berekenen.