Voorbeelden Integratie met Partieelbreuken

Terug

Voorbeeld 1

Bereken de integraal $\int \frac{x^3-2x+6}{x^3+x^2-2}\,\textrm{d}x$.

  1. Voer de Euclidische deling uit van $x^3-2x+6$ door $x^3+x^2-2$. Hierbij vind je een uitdrukking voor rest $R(x)$ en quotiënt $Q(x)$:

$R(x) = \U5$ en $Q(x) = \U5$.

Antwoord $R(x) = -x^2-2x+8$ en $Q(x) = 1$.

  1. Bij het uitvoeren van de Euclidische deling van $A(x)$ door $B(x)$ vinden we een uitdrukking voor $Q(x)$ en $R(x)$. Schrijf $A(x)$ in functie van $B(x), Q(x)$ en $R(x)$.
$$ A(x) = \underline{\hspace{7em}} $$

Antwoord $A(x) = B(x)Q(x) + R(x)$

  1. Delen van $A(x) = x^3-2x+6$ door $B(x) = x^3+x^2-2$ levert quotiënt $Q(x) = 1$ en rest $R(x) = -x^2-2x+8$ op. Herschrijf het quotiënt $\frac{A(x)}{B(x)}$ in termen van $Q(x), B(x)$ en $R(x)$.

Antwoord $\frac{A(x)}{B(x)} = 1 + \frac{-x^2-2x+8}{x^3+x^2-2}$

Opmerking Om een beter idee te geven van wat precies wordt verwacht, zou deze vraag ook als invulvraag kunnen gesteld worden, zoals: $\U5 + \frac{\U5}{\U5}$

  1. Ontbind $x^3+x^2-2$ in factoren aan de hand van het onderstaande schema van Horner:
$$ \begin{array}{c|cccc} & \underline{\hspace{2em}} & \underline{\hspace{2em}} & \underline{\hspace{2em}} &\underline{\hspace{2em}} \\ \underline{\hspace{2em}} & \downarrow & \underline{\hspace{2em}} & 2 & \underline{\hspace{2em}} \\ \hline & \underline{\hspace{2em}} & 2 & \underline{\hspace{2em}} & 0 \\ \end{array} $$

De ontbinding ziet er dan als volgt uit: $x^3+x^2-2 = (x+\dots)(\dots x^2 + \dots x + \dots)$

Antwoord $x^3+x^2-2 = (x-1)(1 \cdot x^2 + 2 \cdot x + 2)$

  1. Voor het berekenen van de integraal van $\int \frac{-x^2-2x+8}{(x-1)(x^2+2x+2)}\d x$ zal splitsen in partieelbreuken worden toegepast. Vul aan welke uitdrukking in de noemers van de partieelbreuken zal komen te staan.

$\frac{-x^2-2x+8}{(x-1)(x^2+2x+2)}= \frac{ \U5}{x-1} + \frac{ \U5}{x^2+2x+2}$.

Merk op dat bij het invullen van de tellers verschillende namen voor de onbekenden gebruikt kunnen worden. Een optie is op mee te geven in de opgave dat respectievelijk de letters A, B, C, D,$\dots$ gebruikt moeten worden voor de onbekenden. Dit is vooral met het oog op de implementatie in het computerprogramma.

Antwoord

$\frac{-x^2-2x+8}{(x-1)(x^2+2x+2)}= \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^2+2x+2}$

  1. Stel dat $-x^2-2x+8 = A(x^2+2x+2) + (Bx+C)(x-1)$. Herschrijf het rechterlid van deze vergelijking zodat gelijksoortige termen gegroepeerd staan. In termen van A, B en C worden de coëfficiënten van $x^2$, $x$ en de constante term gegeven door:

$\U5 x^2, \U5 x, \U5 x^0$.

Antwoord

$(A + B) x^2, (2A-B+C) x, (2A-C) x^0$.

  1. Gegeven is de gelijkheid $-x^2-2x+8 = (A+B)x^2 + (2A-B+C)x + 2A-C$. Vul aan door het gelijk stellen van de coëfficiënten:

    • $A + B = \U5$
    • $2A - C = \U5$
    • $2A - B + C = \U5$

Antwoord

  1. De oplossing van onderstaand stelsel wordt gegeven door $\begin{cases} A + B = 1 \\ 2A - B + C = -2 \\ 2A - C = 8 \end{cases}$

Merk op dat een alternatief kan zijn om de waarden voor A, B en C zelf te laten invullen. Aangezien het hier gaat over een relatief eenvoudig stelsel dat via substitutie kan worden opgelost, is dit misschien zelfs een betere optie.

Antwoord

De eerste optie is de juiste.

Bespreking

Het berekenen van de integraal $\int \frac{-2x-6}{x^2+2x+2}\d x$ vergt een specifieke aanpak. Ook het berekenen van $\int \frac{x}{x^2+x+1}\d x$ vraagt een vrij uitgebreide kennis van het splisten in partieelbreuken. Er zijn nog vele andere gevallen mogelijk, dus het lijkt goed om na te gaan in welke mate de verschillende gevallen een onderdeel zijn van de behandelde/te kennen leerstof.