Ontbinden in $\mathbb{C}$

Wanneer bij het ontbinden van een veelterm complexe getallen opduiken, kan dat de zaak ingewikkelder maker. Het nemen van vierkantswortels van complexe getallen is namelijk minder eenvoudig dan bij de reële getallen en vraagt een specifieke aanpak en spreekt ook competenties aan in het domein van de complexe getallen.

Voorbeelden

Ontbind de factor $z^4+4z^2+16$ in zoveel mogelijk factoren.

In dit geval verkrijgen we – net zoals bij voorbeeld 3 – een discriminant kleiner dan 0. Aangezien we nu echter ontbinden over de complexe getallen, kunnen we wel verder.

Om tot een oplossing van de vraag te komen, zal deze ter illustratie opgesplitst worden in atomaire deelvragen.

Vraag 1 Voer in de veelterm $z^4+4z^2+16$ de substitutie $z^2 = t$ door. Wat wordt de gegeven vergelijking dan?

$$ z^4+4z^2+16 \stackrel{\text{substitutie } z^2 = t}{=} \underline{\hspace{8em}} $$

Antwoord

$$ z^4+4z^2+16 \stackrel{\text{substitutie } z^2 = t}{=} t^2+4t+16 $$

Vraag 2 Los de vierkantsvergelijking $t^2+4t+16=0$ op (vul aan):

$$ D = \U5 $$

$$ t_1 = \U5 \quad \text{en} \quad t_2 = \U5 $$

Hieruit volgt dat

$$ z^4+4z^2+16 = (z^2 - \U5)(z^2 - \U5) $$

Antwoord

$$ D = -48 $$

$$ t_1 = -2-2\sqrt{3}i \quad \text{en} \quad t_2 = -2+2\sqrt{3}i $$

Hieruit volgt dat

$$ z^4+4z^2+16 = (z^2 - (-2-2\sqrt{3}i))(z^2 - (-2+2\sqrt{3}i)) $$

Vraag 3 Stel dat $z^2 = -2+ 2\sqrt{3}i$. Dan is $z^2$ te schrijven in de goniometrische vorm $r(\cos \phi + i \sin \phi)$. Bepaal $r$ en $\phi$.

$r = \U5 \quad \text{en} \quad \phi = \U5$.

Antwoord

$r = 4 \text{ en } \phi = \frac{2\pi}{3}$.

Alternatief (meerkeuze) Stel dat $z^2 = -2+ 2\sqrt{3}i$. Dan is $z^2$ te schrijven in de goniometrische vorm $r(\cos \phi + i \sin \phi)$. Duidt de juiste waarde voor $r$ en $\phi$ aan. Let op: duid in beide gevallen slechts één antwoord aan.

$r = 4$
$r = \sqrt{8}$
$r = 2\sqrt{10}$
$r = 8$

$\phi = \frac{2\pi}{3}$
$\phi = \frac{-\pi}{3}$
$\phi = \frac{2\sqrt{3}}{2}$
$\phi = \frac{-2\sqrt{3}}{2}$

Merk op dat bij de meerkeuze voor $\phi$ zeker mogelijkheden 1 en 2 één van de opties moeten zijn. Beiden zijn namelijk oplossingen van de vergelijking $\tan \phi = \frac{b}{a}$, maar aangezien $z^2$ in het tweede kwadrant ligt, is enkel $\frac{2\pi}{3}$ een goed antwoord.

Extra vraag Een extra tussenvraag die eventueel gesteld kan worden is om $\tan^{-1}\left(\frac{2\sqrt{3}}{-2} \right)$ te bepalen.

Vraag 4 Stel dat $z^2 = -2+2\sqrt{3}i$. Bepaal dan de vierkantswortel van $z^2$. (Hint: formule van De Moivre)

$$ z_1 = \U5 \left(\cos\U5 + i\sin\U5 \right) = \U5 +\U5i $$

$$ z_2 = \U5 \left(\cos\U5 + i\sin\U5 \right) = \U5 + \U5i $$

Antwoord

$$ z_1 = 2 \left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3} \right) = 1 +\sqrt{3}i $$

$$ z_2 = -2 \left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3} \right) = -1 -\sqrt{3}i $$

Merk op dat ook naar de formule van De Moivre gevraagd zou kunnen worden, maar dit is eerder een theoretische vraag.

Vraag 5 Als je weet dat de wortels van $-2+2\sqrt{3}i$ gegeven worden door $1+\sqrt{3}i$ en $-1-\sqrt{3}i$, wat zullen dan de wortels zijn van $-2-2\sqrt{3}i$?

$$ z_1 = \U5\text{ en } z_2 = \U5 $$

Antwoord

$$ z_1 = 1 - \sqrt{3}i \text{ en } z_2 = -1 + \sqrt{3}i $$

Merk op dat een vraag in de vorm van meerkeuze hier iets te voor de hand liggend is.

Bespreking

Belangrijk om op te merken is dat de ontbinding die hierboven werd getoond niet uniek is.

Terug