Oplossen van niet-homogene lineaire eerste orde differentiaalvergelijkingen

Terug

Stap 1 Oplossen homogene vergelijking: zie scheiden van de veranderlijken

Stap 2 Oplossen van de niet-homogene vergelijking aan de hand van de algemene formule $y = e^{-\int p(x)dx}\left(\int e^{\int p(x)dx}r(x)dx + C\right)$ als de differentiaalvergelijking van de vorm $\frac{dy}{dx}+p(x)y =r(x)$ is.

Het oplossen van een niet-homogene differentiaalvergelijking kan opgedeeld worden in een aantal atomaire vragen. Hieronder worden een aantal voorbeelden van deelvragen gegeven. In het voorbeeld wil men de differentiaalvergelijking $\frac{dy}{dx} - \frac{y}{x^2} = \frac{4}{x^2}$ oplossen.

Voorbeelden

1. De differentiaalvergelijking $\frac{dy}{dx} - \frac{y}{x^2} = \frac{4}{x^2}$ is van de algemene vorm $\frac{dy}{dx} + p(x)y = r(x)$. Bepaal $p(x)$ en $r(x)$.

• $p(x) = \underline{\hspace{3em}}$
• $r(x) = \underline{\hspace{3em}}$

Alternatief 1 De differentiaalvergelijking $\frac{dy}{dx} - \frac{y}{x^2} = \frac{4}{x^2}$ is van de algemene vorm $\frac{dy}{dx} + p(x)y = r(x)$. $p(x) = \frac{1}{x^2}$ en $r(x) = \frac{4}{x^2}$.

• Beide gelijkheden zijn correct.
• Alleen $p(x)$ is correct.
• Alleen $q(x)$ is correct.
• Geen van beide is correct.

Alternatief 2 De differentiaalvergelijking $\frac{dy}{dx} - \frac{4}{x^2} = \frac{y}{x^2}$ is van de algemene vorm $\frac{dy}{dx} + p(x)y = r(x)$. Welke uitpsraak is correct?

• $p(x) = \frac{4}{x^2}$ en $r(x) = \frac{1}{x^2}$
• $p(x) = \frac{-4}{x^2}$ en $r(x) = \frac{y}{x^2}$
• $r(x) = \frac{4}{x^2}$ en $p(x) = \frac{-1}{x^2}$
• $r(x) = \frac{-4}{x^2}$ en $p(x) = \frac{1}{x^2}$

1. Stel dat $p(x) = -\frac{1}{x^2}$ en $r(x) = \frac{-4}{x^2}$. Bepaal de integraal van $p(x)$ en $r(x)$.

Link naar andere competenties: Oplossen van integralen