Voorbeeld Integratie door substitutie
Bereken: $\int \frac{9^x}{1-3^x}\d x$
- Herschrijf deze integraal zodat in de teller het grondtal 3 is.
$$
\int \frac{9^x}{1-3^x}\d x= \int \frac{\dots}{1-3^x}\d x
$$
- Welke integratiemethode zal je gebruiken om $\int \frac{3^{2x}}{1-3^x}\d x$ te berekenen?
- Partiële integratie
- Substitutie van $u = 3^x$
- Substitutie van $u = 2x$
- Substitutie van $1-3^x$
- Veronderstel dat we voor het berekenen van $\int \frac{3^{2x}}{1-3^x}\d x$ de substitutie $u = 2x$ gebruiken. Vul aan wat het integrandum wordt in dit geval:
$$
\int \frac{3^{2x}}{1-3^x}\d x = \int \underline{\hspace{3em}} du
$$
Merk op dat in de noemer zowel $\sqrt{3^u}$ als $3^{u/2}$ mogelijk zijn.
- Gegeven is $\int \frac{3^u}{1-\sqrt{3^u}}\d u$. Welke integratiemethode zal je gebruiken om deze integraal te berekenen?
- Substitutie van $z=3^u$
- Substitutie van $\sqrt{3^u}$
- Substitutie d.m.v. $t$-formules
- Partiële integratie
- Veronderstel dat we voor het berekenen van $\int \frac{3^u}{1-\sqrt{3^u}}\d u$ de substitutie $z = 3^u$ gebruiken. Vul aan wat het integrandum wordt in dit geval:
$$
\int \frac{3^u}{1-\sqrt{3^u}}\d u = \int\underline{\hspace{3em}} dz
$$
Andere Voorbeelden
Hieronder staan een aantal andere voorbeelden van oefeningen waarbij substitutie gebruikt wordt om de integralen te berekenen.
- $\int \frac{x^3}{\sqrt{4-x^8}}\,\textrm{d}x$
- Herschrijf de uitdrukking onder de wortel, en voer de substitutie $x^4 = t$ door.
- Uiteindelijk komt er $\int \frac{1}{\sqrt{4-t^2}}dt$, wat herschreven kan worden als $\int \frac{1}{1 - \left(\frac{t}{2}\right)^2}dt$, waarbij dan de substitutie $\frac{t}{2} = z$ kan toegepast worden.
- $\int \frac{x^3}{3x^2+1}\,\textrm{d}x$. Substitutie van $x^2=t$. Verder kan partiële integratie worden toegepast