Ontbinden in twee factoren

Aan de hand van het opgestelde schema van Horner, kan de gegeven veelterm alvast in twee factoren worden ontbonden.

Voorbeeld

Gegeven is de veelterm $z^5-z^4+4z^3-4z^2+16z-16$ en het schema van Horner:

$$ \begin{array}{c|cccccc} & 1 & -1 & 4&-4&16&-16 \\ 1 & \downarrow & 1&0&4&0&16 \\ \hline & 1&0&4&0&16&0 \end{array} $$

Welk van onderstaande ontbindingen is de correcte ontbindingen van de gegeven veelterm?

Alternatief

Geef de ontbinden van de gegeven veelterm door de juist coëfficiënten in te vullen:

$$ z^5-z^4+4z^3-4z^2+16z-16 = (z+\underline{\hspace{2em}})(\underline{\hspace{2em}}z^4 + \underline{\hspace{2em}}z^3 + \underline{\hspace{2em}}z^2 + \underline{\hspace{2em}}z + \underline{\hspace{2em}}) $$

Oplossing

$z^5-z^4+4z^3-4z^2+16z-16 = (z+ (-1))(z^4 + 0z^3 + 4z^2 + 0z + 16)$, of dus het eerste antwoord in de meerkeuzevraag.

Bespreking

  1. Een andere optie zou kunnen zijn om enkel het schema van Horner te geven (en niet de oorspronkelijke veelterm). Via het gegeven schema is de oorspronkelijke veelterm namelijk makkelijk af te lezen.

  2. Na het ontbinden in twee factoren, kan de onbinding al dan niet voltooid zijn. In het geval de oorspronkelijke veelterm van de tweede graad was, stopt de ontbinding hier. In alle andere gevallen (dus bij een niet-lineaire tweede factor) moet verder gezocht worden naar een mogelijke ontbinding. Hierbij zijn voor deze niet-lineaire factor verschillende mogelijkheden:

    • Tweededgraadsveelterm: los een vierkantsvergelijking op.
    • Vierdegraadsveelterm met enkel termen in $z^4$, $z^2$ en $z^0$. In dit geval herleidt het probleem zich tot het oplossen van een vierkantsvergelijking.
    • Voor alle andere gevallen kan op zoek gegaan worden naar wortel van de overgebleven veelterm (de niet-lineaire factor) om vervolgens het schema van Horner te gebruiken en stap voor stap lineaire factoren te vinden.

De moeilijkheidsgraad van het ontbinden kan verschillen naar gelang het veld waarin wordt gewerkt: een veelterm ontbinden in $\mathbb{R}$ is eenvoudiger dan in $\mathbb{C}$: het vinden van een wortel van een complex getal vergt meer inspanning dan een de wortel van een reëel getal vinden.

Zie ook

Ontbinden in $\mathbb{R}$

Ontbinden in $\mathbb{C}$


Terug