Vorm van een differentiaalvergelijking

Terug

Vraagstuk Orde Oplossen

Differentiaalvergelijking van de eerste orde kunnen vaak teruggebracht worden tot één van de volgende algemene vormen:

Expliciet de vraag stellen tot welke algemene vorm een gegeven differentiaalvergelijking herleid kan worden, kan voor de studenten een hulpmiddel zijn om de differentiaalvergelijking nadien correct op te lossen.

De meest voorkomende vormen zijn de eerste twee. Bij de derde vorm moeten de studenten zelf nog ‘een differentiaal maken’ van de afgeleiden.

Voorbeelden

Herkennen algemene vorm

Voorbeeld 1

Van welke algemene vorm is de differentiaalvergelijking dydxyx2=4x2?

Antwoord dydx+p(x)y=r(x)

Voorbeeld 2

Van welke algemene vorm is de differentiaalvergelijking y2dx(1x)dy=0?

Antwoord p(x)dx+q(y)dy=0

Voorbeeld 3

Van welke algemene vorm is de differentiaalvergelijking dydx=y(lny1)?

Antwoord dydx=F(x,y)

Opmerking 1 Eventueel zouden deze vragen ook als open vragen kunnen gesteld worden. Daarvoor is in de eerste plaats nodig dat in de lessen duidelijk een aantal algemene vormen gezien werden. Verder moet ook nagedacht worden hoe het invullen precies moet gebeuren, zo kan vermeden worden dat elke student andere letters gebruikt. Er kan bijvoorbeeld op voorhand worden meegegeven dat de functie die wordt afgeleid f heet en dat deze wordt afgeleid naar t.

Opmerking 2 Gegeven differentiaalvergelijkingen moeten niet noodzakelijk onmiddellijk in de te herkennen vorm staan. Termen kunnen van plaats verwisseld worden om zo een extra moeilijkheid in de oefening te brengen.

Voorbeeld

Oorspronkelijke differentiaalvergelijking: dydxyx2=4x2

Andere mogelijke vormen: dydxyx24x2=0 of dydx4x2=yx2

Opmerking 3 Vaak worden bij differentiaalvergelijkingen dezelfde namen voor functies en variabelen gebruikt: een functie y die afhangt van x. Er kan eventueel een hogere moeilijkheid worden ingebouwd door andere letters te gebruiken in de differentiaalvergelijkingen.

Voorbeeld

Omvormen naar een gevraagde vormen

Voorbeelden —

Voorbeeld 1

Herschrijf de differentiaalvergelijking y2dx(1x)dy=0 zodanig dat er een afgeleide in voorkomt.

Antwoord Dit wordt dydx=y21x wat van de algemene vorm dydx=F(x,y) is.

Voorbeeld 2

Hoe ziet de differentiaalvergelijking dNdt=βN eruit na het scheiden van de veranderlijken?

Antwoord Na het scheiden van de veranderlijken krijgen de vergelijking dNN=βdt.

Voorbeeld 3

Geef de homogene vergelijking van de lineaire eerste orde differentiaalvergelijking dydxyx2=4x2.