Vorm van een differentiaalvergelijking

Differentiaalvergelijking van de eerste orde kunnen vaak teruggebracht worden tot één van de volgende algemene vormen:

$\frac{dy}{dx} = F(x,y)$
$\frac{dy}{dx} + p(x)y = r(x)$
$p(x)dx + q(y)dy = 0$

Expliciet de vraag stellen tot welke algemene vorm een gegeven differentiaalvergelijking herleid kan worden, kan voor de studenten een hulpmiddel zijn om de differentiaalvergelijking nadien correct op te lossen.

De meest voorkomende vormen zijn de eerste twee. Bij de derde vorm moeten de studenten zelf nog ‘een differentiaal maken’ van de afgeleiden.

Voorbeelden

Herkennen algemene vorm

Voorbeeld 1

Van welke algemene vorm is de differentiaalvergelijking $\frac{dy}{dx} - \frac{y}{x^2} = \frac{4}{x^2}$?

$\frac{dy}{dx} = F(x,y)$
$\frac{dy}{dx} + p(x)y = r(x)$
$p(x)dx + q(y)dy = 0$

Antwoord $\frac{dy}{dx} + p(x)y = r(x)$

Voorbeeld 2

Van welke algemene vorm is de differentiaalvergelijking $y^2dx - (1-x)dy = 0$?

$\frac{dy}{dx} = F(x,y)$
$\frac{dy}{dx} + p(x)y = r(x)$
$p(x)dx + q(y)dy = 0$

Antwoord $p(x)dx + q(y)dy = 0$

Voorbeeld 3

Van welke algemene vorm is de differentiaalvergelijking $\frac{dy}{dx} = -y(\ln y - 1)$?

$\frac{dy}{dx} = F(x,y)$
$\frac{dy}{dx} + p(x)y = r(x)$
$p(x)dx + q(y)dy = 0$

Antwoord $\frac{dy}{dx} = F(x,y)$

Opmerking 1 Eventueel zouden deze vragen ook als open vragen kunnen gesteld worden. Daarvoor is in de eerste plaats nodig dat in de lessen duidelijk een aantal algemene vormen gezien werden. Verder moet ook nagedacht worden hoe het invullen precies moet gebeuren, zo kan vermeden worden dat elke student andere letters gebruikt. Er kan bijvoorbeeld op voorhand worden meegegeven dat de functie die wordt afgeleid $f$ heet en dat deze wordt afgeleid naar $t$.

Opmerking 2 Gegeven differentiaalvergelijkingen moeten niet noodzakelijk onmiddellijk in de te herkennen vorm staan. Termen kunnen van plaats verwisseld worden om zo een extra moeilijkheid in de oefening te brengen.

Voorbeeld

Oorspronkelijke differentiaalvergelijking: $\frac{dy}{dx} - \frac{y}{x^2} = \frac{4}{x^2}$

Andere mogelijke vormen: $\frac{dy}{dx} - \frac{y}{x^2} - \frac{4}{x^2} = 0$ of $\frac{dy}{dx} - \frac{4}{x^2} = \frac{y}{x^2}$

Opmerking 3 Vaak worden bij differentiaalvergelijkingen dezelfde namen voor functies en variabelen gebruikt: een functie $y$ die afhangt van $x$. Er kan eventueel een hogere moeilijkheid worden ingebouwd door andere letters te gebruiken in de differentiaalvergelijkingen.

Voorbeeld

$v$ en $t$ (fysica, versnelling): $\frac{dv}{dt} = -\beta v$
$N$ en $t$ (aantal deeltjes): $\frac{dN}{dt} = -\beta N$
$T$ en $t$ (temperatuur)

Omvormen naar een gevraagde vormen

Voorbeelden —

Voorbeeld 1

Herschrijf de differentiaalvergelijking $y^2dx - (1-x)dy = 0$ zodanig dat er een afgeleide in voorkomt.

Antwoord Dit wordt $\frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{1-x}$ wat van de algemene vorm $\frac{dy}{dx} = F(x,y)$ is.

Voorbeeld 2

Hoe ziet de differentiaalvergelijking $\frac{dN}{dt} = -\beta N$ eruit na het scheiden van de veranderlijken?

Antwoord Na het scheiden van de veranderlijken krijgen de vergelijking $\frac{dN}{N} = -\beta dt$.

Voorbeeld 3

Geef de homogene vergelijking van de lineaire eerste orde differentiaalvergelijking $\frac{dy}{dx} - \frac{y}{x^2} = \frac{4}{x^2}$.