Asymptoten

Verticale asymptoten

1. Bepaal de vergelijking(en) van de verticale asympto(o)t(en) van de functie met als voorschrift $f(x) = \frac{x^2-4}{x^2-6x}$.

• Veel rationale functies kunnen hier dienst doen. Kies bij voorkeur een functie waarbij een nulpunt van de noemer geen nulpunt is van de teller. Indien dit wel zo is, heeft de functie voor die $x$-waarde geen verticale asymptoot, maar een perforatie.

2. Duid aan welke van de volgende functies ten minste één perforatie hebben.

• $f_1(x) = \frac{x^2+6x+5}{x^2-25}$
• $f_2(x) = \frac{x^3+3x^2+2x}{x^2-2x}$
• $f_3(x) = \frac{x^2-3x+2}{2x-2}$
• $f_4(x) = \frac{x^2+3x-10}{x^2-4x+4}$

Horizontale asymptoten

3. Bepaal de limiet $\lim_{x \to \infty}\frac{x}{x^4-5x^2+4}$.

• Laat eventueel ook functies die geen horizontale asymptoot hebben zoals $g(x) = \frac{x^2+5x-3}{4x^2+6}$ toe. In dat geval kan een meerkeuzevraag misschien een goede optie zijn:

4. Bepaal de limiet $\lim_{x \to +\infty}\frac{x^4-1}{5x^2-x-6} = \U4$.

• $\frac{1}{5}$
• $0$
• $1$
• Deze limiet bestaat niet (wordt $\infty$)

Schuine asymptoten

Bij het bepalen van een schuine asymptoot komt het erop neer eerst $\frac{f(x)}{x}$ te bepalen en vervolgens de limiet voor $x \to \infty$. Niets nieuws en bovendien competenties die reeds in andere oefeningen (limieten, werken met breuken) aan bod kwamen.

Algemene opmerkingen

• Bij het bepalen van een eventuele verticale asymptoot komen min of meer dezelfde competenties aan bod als bij het bepalen van het domein van een rationale functie. De oefening lijkt zeer sterk op deze bij domein.

• Bij het bepalen van een eventuele horizontale asymptoot komen dezelfde competenties aan bod als bij limieten. Hetzelfde geldt voor het bepalen van een schuine asymptoot.